Modele badań operacyjnych

Modele badań operacyjnych

Badania operacyjne (BO) wykorzystują modele do analizy i rozwiązywania zadań zarządzania oraz podejmowania decyzji. Model w BO to uproszczone, sformalizowane przedstawienie rzeczywistej operacji lub systemu, przeznaczone do badania jej zachowania i poszukiwania najlepszych rozwiązań.

Aby zastosować ilościowe metody badawcze, konieczne jest zbudowanie matematycznego modelu operacji. Podczas budowania modelu operacja jest zazwyczaj upraszczana i schematyzowana, a schemat ten opisywany jest za pomocą odpowiedniego aparatu matematycznego. Model operacji to wystarczająco dokładny opis operacji za pomocą aparatu matematycznego (różnego rodzaju funkcji, równań, układów równań i nierówności). Efektywność operacji określana jest jako stopień jej przystosowania do realizacji zadania.

Ogólne sformułowanie zadania i struktura modelu w BO

W badaniach operacyjnych sytuacja zarządcza obejmuje cele i decyzje. Decyzje są podejmowane w celu osiągnięcia celu. Sytuacja zarządcza opisywana jest za pomocą modelu.

Model zawiera jednoznaczny wskaźnik efektywności, na podstawie którego określa się, jak bardzo decyzja jest bliska celowi. Wskaźnik ten zależy od czynników wpływających na operację. Wszystkie czynniki wchodzące w skład opisu operacji można podzielić na dwie grupy:

• Czynniki niekontrolowane (stałe): Warunki zewnętrzne lub parametry systemu, na które decydent (LPR) nie ma wpływu (np. popyt rynkowy, ceny surowców, pogoda).
• Czynniki kontrolowane (sterowane): Parametry operacji, których wartości decydent może wybierać i zmieniać (np. wielkość produkcji, trasa dostawy, alokacja zasobów). Czynniki te nazywane są również zmiennymi decyzyjnymi.

Koncepcyjnie model BO można przedstawić w postaci „czarnej skrzynki", gdzie główna uwaga skupia się na określeniu wejść i wyjść:

• Wejścia: Zmienne kontrolowane i niekontrolowane (czynniki).
• Model: Aparat matematyczny (funkcje, równania, nierówności) opisujący zależności między wejściami a wyjściami.
• Wyjście: Kryterium efektywności (funkcja celu).

Kryterium efektywności wyrażane pewną funkcją nazywane jest funkcją celu. Funkcja celu to matematycznie sformułowany (sformalizowany) wskaźnik efektywności, który należy maksymalizować lub minimalizować.

Matematyczna definicja modelu

Pod modelem matematycznym w BO rozumie się dowolny operator pozwalający na podstawie odpowiednich wartości parametrów wejściowych wyznaczać wartości wyjściowe parametrów obiektu modelowania w granicach zbioru dopuszczalnych wartości parametrów wejściowych i wyjściowych dla modelowanego obiektu.

Typowy model matematyczny BO

Większość zadań BO sprowadza się do optymalizacji i formułowana jest w postaci następującego modelu matematycznego:

Maksymalizować (lub minimalizować) funkcję celu przy spełnieniu ograniczeń.

• Funkcja celu: Ilościowo wyraża kryterium, według którego oceniane jest rozwiązanie (np. zysk, koszty, czas). Wybór funkcji celu jest centralnym, odpowiedzialnym momentem badania. Lepiej znaleźć rozwiązanie nieoptymalnego przy właściwie wybranym kryterium niż optymalne przy błędnym.
• Ograniczenia: Wyrażenia matematyczne (w postaci równań lub nierówności), którym muszą odpowiadać zmienne modelu. Odzwierciedlają one rzeczywiste limity zasobów, wymagania technologiczne, zadania planowe i inne warunki. Ograniczenia zawężają zbiór możliwych rozwiązań.

Rozwiązania w modelach BO

• Rozwiązanie dopuszczalne: Dowolny zestaw wartości zmiennych, który spełnia wszystkie ograniczenia modelu. Zbiór wszystkich rozwiązań dopuszczalnych tworzy obszar rozwiązań dopuszczalnych (ORD). Takich rozwiązań może być nieskończenie wiele.
• Rozwiązanie optymalne: Rozwiązanie dopuszczalne, przy którym funkcja celu osiąga swą ekstremalną (maksymalną lub minimalną) wartość. Rozwiązanie optymalne (jeśli istnieje) zawsze należy do ORD.
  • W niektórych przypadkach rozwiązanie optymalne może nie istnieć (np. jeśli ORD jest pusty lub funkcja celu jest nieograniczona na ORD).
  • Optymalnym nazywa się rozwiązanie, które według zadanego kryterium optymalizacji jest lepsze od pozostałych.
  • Optymalność jest zawsze względna wobec kryterium („optymalny według...").

Klasyfikacja modeli badań operacyjnych

Modele BO można klasyfikować według różnych kryteriów, w szczególności według stosowanego aparatu matematycznego i rodzaju zadania:

Według struktury matematycznej

• Modele programowania liniowego (PL): Funkcja celu i wszystkie ograniczenia są funkcjami liniowymi zmiennych.
• Modele całkowitoliczbowego PL: Część lub wszystkie zmienne muszą przyjmować wartości całkowite.

• Modele programowania nieliniowego (PNL): Funkcja celu i/lub ograniczenia są funkcjami nieliniowymi.
• Modele programowania wypukłego: Szczególny przypadek PNL, w którym funkcja celu jest minimalizowana (lub maksymalizowana wklęsła), a ORD jest zbiorem wypukłym.

• Modele programowania dynamicznego (PD): Stosowane do zadań, w których decyzja podejmowana jest etapami w czasie, a kryterium optymalności wyrażane jest przez relacje rekurencyjne.
• Modele heurystyczne: Stosowane, gdy znalezienie dokładnego optimum jest niemożliwe ze względu na dużą złożoność obliczeniową. Wykorzystywane są metody heurystyczne w celu znalezienia rozwiązania „wystarczająco dobrego".

Według typowych zadań BO

• Zadania sieciowego planowania i zarządzania: Optymalizacja terminów i kosztów realizacji kompleksów prac (np. metoda ścieżki krytycznej).
• Zadania masowej obsługi (teoria kolejek): Analiza i optymalizacja systemów z kolejkami (określanie liczby kanałów obsługi, czasu obsługi).
• Zadania zarządzania zapasami: Określanie optymalnych poziomów zapasów i wielkości zamówień w celu minimalizacji kosztów przy zaspokajaniu popytu.
• Zadania alokacji zasobów: Optymalne przydzielanie ograniczonych zasobów między konkurującymi operacjami lub rodzajami działalności.
• Zadania napraw i wymiany wyposażenia: Określanie optymalnych momentów naprawy lub wymiany wyposażenia z uwzględnieniem zużycia i starzenia się.
• Modele teorii gier: Analiza sytuacji konfliktowych z udziałem wielu stron dążących do różnych celów oraz poszukiwanie optymalnych strategii.

Literatura

• Wentcel J. S. Badania operacyjne: zadania, zasady, metodologia. — M.: Nauka, 1988.
• Ackoff R., Sasieni M. Podstawy badań operacyjnych. — M.: Mir, 1971.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)

Zobacz też

• Badania operacyjne
• Model matematyczny
• Optymalizacja
• Funkcja celu
• Ograniczenia
• Rozwiązanie dopuszczalne
• Rozwiązanie optymalne
• Programowanie liniowe
• Programowanie dynamiczne
• Teoria masowej obsługi
• Teoria gier
• Modelowanie symulacyjne
• Analiza systemowa