Modélisation mathématique

La modélisation mathématique est une méthode d'investigation dans laquelle un objet, un processus ou un phénomène réel est remplacé par son modèle mathématique, permettant d'analyser le comportement d'un système à l'aide de méthodes mathématiques.

Essence de la modélisation mathématique

La modélisation mathématique comprend :

• la formalisation des caractéristiques essentielles de l'objet étudié ;
• la construction d'un modèle mathématique exprimant les relations entre les paramètres ;
• l'étude du modèle par des méthodes analytiques, numériques ou de simulation ;
• l'interprétation des résultats en application au système réel.

Un modèle est toujours une simplification de la réalité, ne reflétant intentionnellement que les aspects importants pour les objectifs de l'étude ou de la conception.

Objectifs de la modélisation mathématique

Les modèles mathématiques sont développés pour :

• décrire la structure, les propriétés et le fonctionnement des systèmes ;
• expliquer les phénomènes observés en identifiant des régularités ;
• prédire le comportement futur des systèmes sous des influences données ;
• optimiser les processus et les systèmes de contrôle ;
• réaliser des expériences virtuelles, impossibles ou non souhaitables dans la réalité.

Classification des modèles mathématiques

• Selon la méthode de description : Déterministes et stochastiques (probabilistes).
• Selon la nature du temps : Statiques et dynamiques.
• Selon la nature des variables : Discrets et continus.
• Selon le niveau de détail : Macroscopiques, microscopiques, mésoscopiques.
• Selon l'appareil utilisé : Analytiques, numériques, de simulation.
• Selon la finalité : Descriptifs, prédictifs, d'optimisation, de simulation.
• Selon la structure : Linéaires et non linéaires.
• Selon l'approche de construction : Phénoménologiques (empiriques) et mécanistes (théoriques).

Étapes de la modélisation mathématique

En général, les étapes de la modélisation mathématique sont les suivantes :

1. Définition du problème :
   • Définition de l'objectif de la modélisation (que voulons-nous savoir ou faire ?).
   • Description de l'objet ou du processus, et de ses limites.
   • Identification des facteurs clés et des caractéristiques à prendre en compte.
2. Construction (ou choix) du modèle :
   • Formalisation : Traduction de la description de l'objet et de ses relations en langage mathématique (équations, fonctions, règles logiques, algorithmes, etc.).
   • Introduction d'hypothèses et de simplifications pour isoler l'essentiel.
   • Définition des paramètres du modèle et de leurs relations.
3. Étude du modèle :
   • Résolution du problème mathématique (de manière analytique, numérique, ou par simulation).
   • Réalisation d'expériences computationnelles pour étudier le comportement du modèle dans différentes conditions.
4. Vérification de l'adéquation (validation) du modèle :
   • Comparaison des résultats de la modélisation avec des données réelles (expérimentales, observées) ou des faits connus.
   • Évaluation de la capacité du modèle à refléter la réalité pour l'objectif fixé.
5. Interprétation et application des résultats :
   • Analyse des données obtenues par la modélisation.
   • Traduction des résultats dans le langage du problème initial.
   • Formulation de conclusions, de prévisions, élaboration de recommandations ou prise de décisions sur la base du modèle.

Ce processus est souvent itératif. Des résultats de validation ou d'interprétation insatisfaisants peuvent nécessiter un retour aux étapes précédentes (affinage de la définition du problème, modification des hypothèses, ajustement du modèle).

Approche fondamentale

L'approche fondamentale, basée sur les travaux de Clive Dym (Principles of Mathematical Modeling), propose de considérer la modélisation comme une séquence de réponses à des questions clés :

• Why? (Pourquoi ?) : Quel est le besoin du modèle ? Il est nécessaire de définir clairement l'objectif de la modélisation et le problème que le modèle doit aider à résoudre.
• Find? (Trouver ?) : Que voulons-nous savoir ? Quelles données de sortie, caractéristiques ou informations spécifiques le modèle doit-il fournir pour atteindre l'objectif ?
• Given? (Étant donné ?) : Que savons-nous ? Quelles informations, données (expérimentales, statistiques), connaissances sur le système et ressources disponibles avons-nous déjà ?
• Assume? (Hypothèses ?) : Quelles hypothèses faisons-nous ? Définition des simplifications, des idéalisations, des hypothèses sur le comportement du système et des limites d'applicabilité du modèle. Cette étape est cruciale car elle détermine l'adéquation du modèle.
• How? (Comment ?) : Comment le système fonctionne-t-il ? Identification des lois fondamentales (physiques, chimiques, biologiques, économiques, etc.), des mécanismes et des interrelations qui régissent le comportement de l'objet de la modélisation.
• Predict? (Prédiction ?) : Que va prédire le modèle ? Formulation des équations mathématiques, des inéquations, des règles logiques ou des algorithmes qui constituent le cœur du modèle, et définition des calculs qui seront effectués.
• Valid? (Validité ?) : Dans quelle mesure les prédictions du modèle correspondent-elles à la réalité ? Comparaison des résultats de la modélisation avec des données réelles ou des faits connus pour vérifier l'adéquation du modèle aux objectifs fixés.
• Verified? (Utilité/Vérification ?) : Le modèle est-il utile pour atteindre l'objectif initial (Why?) ? Les résultats obtenus et la précision du modèle répondent-ils au besoin initial ? (À cette étape, une vérification peut également être effectuée – contrôle de l'exactitude des calculs mathématiques et de l'implémentation logicielle).
• Improve? (Amélioration ?) : Peut-on et doit-on améliorer le modèle ? Identification des paramètres nécessitant un affinage, des hypothèses pouvant être assouplies, ou des aspects non pris en compte à ajouter pour une plus grande précision ou un champ d'application plus large.
• Use? (Utilisation ?) : Comment appliquer les résultats ? Interprétation des prédictions et des conclusions du modèle pour la prise de décision, l'acquisition de nouvelles connaissances, la prévision, l'optimisation ou le contrôle du système.

Problèmes direct et inverse en modélisation mathématique

Traditionnellement, on distingue deux grandes classes de problèmes liés aux modèles mathématiques :

• Le problème direct consiste à étudier un modèle dont la structure et les paramètres sont prédéfinis afin d'obtenir des informations sur le comportement de l'objet.
• Le problème inverse consiste à choisir un modèle spécifique ou à déterminer ses paramètres à partir de données expérimentales ou empiriques disponibles.

Problème direct

L'objectif du problème direct est, sur la base des propriétés connues du système, de déterminer sa réaction à des influences externes ou de définir ses caractéristiques dans diverses conditions. Les principaux aspects de l'objectif du problème direct sont :

• Étudier le comportement de l'objet à partir d'un modèle mathématique donné avec une structure et des paramètres connus.
• Obtenir des caractéristiques quantitatives ou qualitatives du système : par exemple, la détermination des contraintes, des champs de température, des réponses dynamiques aux charges, etc.
• Prédire l'état de l'objet sous diverses influences externes (charges, changements des conditions environnementales, actions de contrôle).
• Analyser la stabilité et la fiabilité des systèmes, déterminer leurs régimes de fonctionnement limites.
• Vérifier les hypothèses sur le comportement de l'objet formulées à partir du modèle.
• Optimiser les processus de contrôle en calculant les réponses du modèle aux actions de commande.
• Évaluer la sensibilité des solutions aux variations des conditions initiales et des paramètres du modèle

Problème inverse

L'objectif du problème inverse est de déterminer la structure du modèle ou ses paramètres à partir des données disponibles sur le comportement du système réel.

Les principaux aspects de l'objectif du problème inverse sont :

• Trouver les paramètres inconnus du modèle (par exemple, les coefficients d'élasticité, de conductivité thermique, de résistance, etc.).
• Déterminer la structure cachée des processus à partir des données de sortie observées.
• Construire ou corriger un modèle mathématique de manière à ce que son comportement soit cohérent avec les données expérimentales ou empiriques.
• Développer des méthodes adéquates pour le traitement et l'interprétation des données d'observation et d'expérimentation.

Vérification et validation

Après la construction d'un modèle mathématique et son implémentation logicielle ou algorithmique, une étape cruciale consiste à évaluer sa correction et son applicabilité. Pour ce faire, on utilise deux processus interdépendants mais distincts : la vérification et la validation.

• Vérification (Verification) :
  • Question : Implémentons-nous (construisons-nous) le modèle correctement ?
  • Signification : Vérifier que l'implémentation logicielle ou l'algorithme de calcul du modèle correspond précisément à sa formulation mathématique et à sa description conceptuelle. En d'autres termes, la vérification s'assure que les équations sont résolues correctement et que l'algorithme fonctionne sans erreur, conformément à la logique prévue.
  • Méthodes : Analyse et revue de code, tests sur des solutions analytiques connues (si elles existent), comparaison avec les résultats d'autres programmes validés, vérification de la stabilité numérique et de la convergence des algorithmes.
• Validation (Validation) :
  • Question : Avons-nous construit le bon modèle ?
  • Signification : Déterminer le degré de conformité du modèle à l'objet, au processus ou au phénomène réel qu'il est censé décrire, en relation avec les objectifs de la modélisation. La validation répond à la question de savoir dans quelle mesure le modèle reflète les aspects de la réalité qui nous intéressent.
  • Méthodes : Comparaison des résultats de la modélisation avec des données expérimentales, des données d'observation du système réel, des données statistiques, des faits connus ou les résultats d'autres modèles déjà éprouvés. Évaluation de la sensibilité du modèle aux variations des paramètres.

Différence clé :

• La vérification compare l'implémentation du modèle à sa spécification (description mathématique).
• La validation compare le modèle (dans son ensemble) à la réalité.

On peut avoir un modèle mathématiquement correct mais inadéquat pour le processus réel (vérifié, mais non validé), ou un modèle conçu pour être adéquat mais implémenté avec des erreurs (non vérifié).

Les processus de vérification et de validation font partie intégrante du processus de modélisation mathématique. Ils garantissent la confiance dans les résultats de la modélisation et permettent d'évaluer les limites d'applicabilité du modèle. Sans eux, l'utilisation du modèle pour la prévision, l'optimisation ou la prise de décision peut être incorrecte.

Limites et hypothèses

Tout modèle mathématique est une abstraction — une simplification intentionnelle de la réalité étudiée. Il repose sur un ensemble d'hypothèses et, comme une carte, il n'est pas le territoire lui-même, mais seulement sa description à des fins spécifiques. Cela impose les limites suivantes :

1. Incomplétude : Le modèle ne prend en compte que les facteurs et les relations jugés essentiels (du point de vue de l'objectif de l'étude et des hypothèses posées), en ignorant délibérément d'autres détails pour simplifier l'analyse.
2. Dépendance aux hypothèses : La justesse, la précision et le domaine d'application du modèle dépendent directement de la validité des hypothèses posées. Des hypothèses incorrectes ou violées mènent à des résultats inexacts ou faux.
3. Domaine d'application limité : Le modèle décrit adéquatement la réalité uniquement dans certaines conditions (conformes aux hypothèses) et pour résoudre un ensemble spécifique de problèmes pour lesquels il a été créé et validé. Toute extrapolation au-delà de ce cadre est incorrecte.
4. Marge d'erreur : En raison des simplifications, les résultats de la modélisation présentent toujours une certaine marge d'erreur par rapport au comportement réel de l'objet.
5. Nécessité de validation : Puisqu'un modèle est une simplification, son adéquation doit toujours être vérifiée (validée) sur la base de données réelles (expérimentales ou observées).
6. Sensibilité : Les résultats de la modélisation peuvent être sensibles aux variations des données d'entrée, des paramètres du modèle et des hypothèses posées, ce qui nécessite souvent une analyse de sensibilité.

Exemples d'application

• En physique : modélisation de la conduction thermique, de l'hydrodynamique, des processus électromagnétiques.
• En ingénierie : calcul de la résistance des structures, optimisation des processus technologiques.
• En biologie : modélisation de la dynamique des populations et de la propagation des maladies.
• En économie : construction de modèles macroéconomiques et de modèles de contrôle optimal.
• En sociologie : modélisation des processus migratoires et de la dynamique sociale.

Concepts associés

• Modèle mathématique
• Modèle de système
• Processus de modélisation
• Formalisation des modèles de systèmes
• Modélisation
• Recherche opérationnelle

Bibliographie

• Введение в математическое моделирование / Под ред. П.В. Трусова. — М.: Университетская книга, Логос, 2007.
• Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Моисеев Н.Н. — М.: Наука, 1981.
• Математическое моделирование. Галанин М.П., Галанина Е.М., Сергеев А.В., Шалаева А.К. . — М.: ЛКИ, 2022.
• Principles of Mathematical Modeling Dym, C.L. (2004)