Modèles de recherche opérationnelle

Modèles de recherche opérationnelle

La recherche opérationnelle (RO) utilise des modèles pour analyser et résoudre des problèmes de gestion et de prise de décision. Un modèle en RO est une représentation simplifiée et formalisée d'une opération ou d'un système réel, conçue pour étudier son comportement et trouver les meilleures solutions.

Pour appliquer les méthodes quantitatives de la recherche, il est nécessaire de construire un modèle mathématique de l'opération. Lors de la construction du modèle, l'opération est généralement simplifiée, schématisée, et ce schéma est décrit à l'aide d'un appareil mathématique. Le modèle de l'opération est une description suffisamment précise de l'opération à l'aide d'outils mathématiques (diverses fonctions, équations, systèmes d'équations et d'inégalités). L'efficacité de l'opération est définie comme son degré d'adéquation à la réalisation de la tâche.

Formulation générale du problème et structure du modèle en RO

En recherche opérationnelle, une situation de gestion comprend des objectifs et des décisions. Les décisions sont prises pour atteindre les objectifs. La situation de gestion est décrite par un modèle.

Le modèle contient un indicateur de performance explicite, qui permet de déterminer dans quelle mesure une solution se rapproche de l'objectif. Cet indicateur dépend de facteurs qui influencent l'opération. Tous les facteurs inclus dans la description de l'opération peuvent être divisés en deux groupes :

• Facteurs non contrôlables (constants) : Conditions externes ou paramètres du système que le décideur ne peut pas influencer (par exemple, la demande du marché, les prix des matières premières, la météo).
• Facteurs contrôlables (gérables) : Paramètres de l'opération dont le décideur peut choisir et modifier les valeurs (par exemple, le volume de production, l'itinéraire de livraison, l'allocation des ressources). Ces facteurs sont également appelés variables de décision.

Conceptuellement, un modèle de RO peut être représenté comme une « boîte noire », où l'accent est mis sur la définition des entrées et des sorties :

• Entrées : Variables (facteurs) contrôlables et non contrôlables.
• Modèle : L'appareil mathématique (fonctions, équations, inégalités) qui décrit les relations entre les entrées et les sorties.
• Sortie : Critère de performance (Fonction objectif).

Le critère de performance, exprimé par une certaine fonction, est appelé fonction objectif. La fonction objectif est un indicateur de performance formulé mathématiquement (formalisé) qui doit être maximisé ou minimisé.

Définition mathématique du modèle

Un modèle mathématique en RO est défini comme tout opérateur qui permet, à partir des valeurs correspondantes des paramètres d'entrée, de déterminer les valeurs de sortie des paramètres de l'objet de la modélisation, dans les limites de l'ensemble des valeurs admissibles des paramètres d'entrée et de sortie pour l'objet modélisé.

Modèle mathématique typique en RO

La plupart des problèmes de RO se ramènent à l'optimisation et sont formulés sous la forme du modèle mathématique suivant :

Maximiser (ou minimiser) la fonction objectif sous réserve du respect des contraintes.

• Fonction objectif : Exprime quantitativement le critère selon lequel la solution est évaluée (par exemple, le profit, les coûts, le temps). Le choix de la fonction objectif est un moment central et crucial de la recherche. Il vaut mieux trouver une solution non optimale avec un critère correctement choisi qu'une solution optimale avec un critère incorrect.
• Contraintes : Expressions mathématiques (sous forme d'égalités ou d'inégalités) que les variables du modèle doivent satisfaire. Elles reflètent les limites réelles des ressources, les exigences technologiques, les objectifs de planification et d'autres conditions. Les contraintes restreignent l'ensemble des solutions possibles.

Solutions dans les modèles de RO

• Solution réalisable : Tout ensemble de valeurs de variables qui satisfait à toutes les contraintes du modèle. L'ensemble de toutes les solutions réalisables forme la région des solutions réalisables (RSR). Il peut y avoir une infinité de telles solutions.
• Solution optimale : Une solution réalisable pour laquelle la Fonction objectif atteint sa valeur extrémale (maximale ou minimale). La solution optimale (si elle existe) se trouve toujours dans la RSR.
  • Dans certains cas, une solution optimale peut ne pas exister (par exemple, si la RSR est vide ou si la Fonction objectif n'est pas bornée sur la RSR).
  • Une solution est dite optimale si, selon le critère d'optimisation donné, elle est préférable aux autres.
  • L'optimalité est toujours relative au critère (« optimal par rapport à... »).

Classification des modèles de recherche opérationnelle

Les modèles de RO peuvent être classifiés selon différents critères, notamment l'appareil mathématique utilisé et le type de problème :

Par structure mathématique

• Modèles de programmation linéaire (PL) : La Fonction objectif et toutes les contraintes sont des fonctions linéaires des variables.
• Modèles de PL en nombres entiers : Une partie ou la totalité des variables doivent prendre des valeurs entières.

• Modèles de programmation non linéaire (PNL) : La Fonction objectif et/ou les contraintes sont des fonctions non linéaires.
• Modèles de programmation convexe : Un cas particulier de la PNL, où la Fonction objectif est minimisée (ou une fonction concave est maximisée), et la RSR est un ensemble convexe.

• Modèles de programmation dynamique (PD) : Utilisés pour les problèmes où la décision est prise par étapes dans le temps, et le critère d'optimalité est exprimé par des relations de récurrence.
• Modèles heuristiques : Appliqués lorsque la recherche d'un optimum exact est impossible en raison d'une grande complexité de calcul. Des méthodes heuristiques sont utilisées pour trouver une solution « suffisamment bonne ».

Par types de problèmes de RO

• Problèmes de planification et de gestion de réseau : Optimisation des délais et des coûts d'exécution d'ensembles de travaux (par exemple, la méthode du chemin critique).
• Problèmes de files d'attente (Théorie des files d'attente) : Analyse et optimisation des systèmes avec files d'attente (détermination du nombre de serveurs, du temps de service).
• Problèmes de gestion des stocks : Détermination des niveaux de stocks et des tailles de commande optimaux pour minimiser les coûts tout en satisfaisant la demande.
• Problèmes d'allocation de ressources : Affectation optimale de ressources limitées entre des opérations ou des activités concurrentes.
• Problèmes de maintenance et de remplacement d'équipement : Détermination des moments optimaux pour la maintenance ou le remplacement d'équipement en tenant compte de l'usure et du vieillissement.
• Modèles de la théorie des jeux : Analyse de situations conflictuelles avec plusieurs parties poursuivant des objectifs différents, et recherche de stratégies optimales.

Voir aussi

• Recherche opérationnelle
• Modèle mathématique
• Optimisation
• Fonction objectif
• Contraintes
• Solution réalisable
• Solution optimale
• Programmation linéaire
• Programmation dynamique
• Théorie des files d'attente
• Théorie des jeux
• Modélisation par simulation
• Analyse systémique

Bibliographie

• Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988.
• Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. — М.: Мир, 1971.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)