Minimax regret criterion (Savage criterion) — เกณฑ์ซาวาจ

เกณฑ์ซาวาจ (หรือที่รู้จักในชื่อ เกณฑ์ความเสียใจขั้นต่ำ) — เป็นหนึ่งในวิธีการตัดสินใจภายใต้ความไม่แน่นอน ใช้ในสถานการณ์ที่ไม่ทราบความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ต่าง ๆ โดยมีเป้าหมายเพื่อลดความสูญเสียที่อาจเกิดขึ้นจากการตัดสินใจที่ไม่เหมาะสมที่สุด

ลักษณะทั่วไป

ภายใต้ความไม่แน่นอน ผลที่ตามมาจากการเลือกแต่ละกลยุทธ์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน ในการประเมินทางเลือกที่เป็นไปได้นั้น จะใช้เกณฑ์หลายประการ เช่น เกณฑ์วาลด์ เกณฑ์เฮอร์วิซ เกณฑ์ลาปลาซ และเกณฑ์ซาวาจ เกณฑ์ซาวาจไม่ได้มุ่งเน้นการบรรลุกำไรสูงสุด แต่มุ่งเน้นการลดความเสียใจสูงสุดให้เหลือน้อยที่สุด (การสูญเสียเมื่อเทียบกับผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้)

ความเสียใจ คือปริมาณที่สะท้อนถึงโอกาสที่พลาดไป เนื่องจากไม่ได้เลือกกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับผลลัพธ์หนึ่ง ๆ

ขั้นตอนการใช้เกณฑ์ซาวาจ

• การสร้างเมทริกซ์การจ่าย: สร้างตารางที่แถวสอดคล้องกับกลยุทธ์ที่เป็นไปได้ และคอลัมน์สอดคล้องกับผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ ในช่องตัดกันจะบันทึกผลลัพธ์ที่คาดหวังสำหรับกลยุทธ์และผลลัพธ์ที่กำหนด
• การสร้างเมทริกซ์ความเสียใจ (เมทริกซ์ความเสี่ยง): สำหรับแต่ละผลลัพธ์ (คอลัมน์) จะหาค่าสูงสุดของผลตอบแทน จากนั้นคำนวณค่าความเสียใจสำหรับแต่ละช่อง:
• การหาความเสียใจสูงสุดสำหรับแต่ละกลยุทธ์: ในแต่ละแถวของเมทริกซ์ความเสียใจ จะเลือกค่าสูงสุด (กรณีเลวร้ายที่สุดสำหรับกลยุทธ์นั้น)
• การเลือกกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุด: เลือกกลยุทธ์ที่มีความเสียใจสูงสุดน้อยที่สุด

ดังนั้น เกณฑ์ซาวาจจึงนำหลักการลดความสูญเสียที่อาจเกิดขึ้นจากการตัดสินใจที่ผิดพลาดมาใช้

สูตรทางคณิตศาสตร์

กำหนดให้:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — ชุดของกลยุทธ์ (ทางเลือก) ที่มีอยู่
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — ชุดของสภาวะธรรมชาติที่เป็นไปได้
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — ฟังก์ชันผลตอบแทน (อรรถประโยชน์) เมื่อเลือกกลยุทธ์ $s_i$ และเกิดสภาวะ ${\theta }_j$ มักแสดงในรูปเมทริกซ์การจ่าย $A=[a_{ij}]$ โดยที่ $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$

เกณฑ์ซาวาจอิงกับแนวคิดของความเสียใจ (regret) หรือโอกาสที่พลาดไป ความเสียใจ $r(s_i,{\theta }_j)$ สำหรับกลยุทธ์ $s_i$ ภายใต้สภาวะธรรมชาติ ${\theta }_j$ ถูกนิยามว่าเป็นผลต่างระหว่างผลตอบแทนสูงสุดที่เป็นไปได้ซึ่งอาจได้รับภายใต้สภาวะธรรมชาติที่กำหนด ${\theta }_j$ (หากเลือกกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับสภาวะนั้น) กับผลตอบแทนจริงจากกลยุทธ์ $s_i$

ขั้นตอนการใช้เกณฑ์ซาวาจ:

1. การคำนวณเมทริกซ์ความเสียใจ (ความเสี่ยง):

   a) หาผลตอบแทนสูงสุดสำหรับแต่ละสภาวะธรรมชาติ (แต่ละคอลัมน์ของเมทริกซ์การจ่าย):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   นี่คือผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้หากเกิดสภาวะ ${\theta }_j$

   b) คำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์ความเสียใจ $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   องค์ประกอบ $r_{ij}$ แสดงให้เห็นว่าผลตอบแทนจากกลยุทธ์ $s_i$ น้อยกว่าค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ภายใต้สภาวะ ${\theta }_j$ มากเพียงใด ทุกองค์ประกอบ $r_{ij}\ge 0$

1. การหาความเสียใจสูงสุดสำหรับแต่ละกลยุทธ์: สำหรับแต่ละกลยุทธ์ $s_i$ (แต่ละแถวของเมทริกซ์ความเสียใจ $R$) จะหาผลลัพธ์เลวร้ายที่สุดในแง่ของความเสียใจ:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. การเลือกกลยุทธ์ที่มีความเสียใจสูงสุดน้อยที่สุด (หลักการ minimax ของความเสียใจ): เลือกกลยุทธ์ $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ ที่ลดความเสียใจสูงสุดที่หาได้:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   หรือแทนนิพจน์ของ $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

ค่าต่ำสุดของความเสียใจสูงสุดที่ได้จากการใช้เกณฑ์ซาวาจเท่ากับ: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

ดังนั้น เกณฑ์ซาวาจมุ่งเน้นการเลือกกลยุทธ์ที่รับประกันความสูญเสียน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับการกระทำที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละสภาวะธรรมชาติ

ประเด็นสำคัญในสูตรทางคณิตศาสตร์:

• คำนิยามของความเสียใจ $r_{ij}$: นี่คือแนวคิดหลัก สิ่งสำคัญคือต้องแสดงให้เห็นว่ามันคำนวณจากผลต่างระหว่างผลลัพธ์ที่ดีที่สุดในคอลัมน์ j กับผลลัพธ์ปัจจุบัน a_{ij}
• เมทริกซ์ความเสียใจ $R$: ระบุไว้อย่างชัดเจนว่าสร้างขึ้นอย่างไร
• การหา $r_i^{max}$: แสดงการค้นหาค่าสูงสุดในแต่ละแถวของเมทริกซ์ความเสียใจ
• หลักการ minimax: กำหนดการเลือกกลยุทธ์อย่างชัดเจนผ่าน $\arg min$ จาก $max$ ของความเสียใจ
• สัญลักษณ์ที่ใช้: มาตรฐานสำหรับทฤษฎีเกมและการตัดสินใจ (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min)

ข้อดีและข้อเสีย

ข้อดี:

• มุ่งเน้นการลดความเสี่ยง
• มีประสิทธิภาพโดยเฉพาะในสภาวะที่มีความไม่แน่นอนสูง

ข้อเสีย:

• ละเลยกำไรที่คาดหวัง โดยมุ่งเน้นเฉพาะความสูญเสียที่อาจเกิดขึ้น
• อาจนำไปสู่การตัดสินใจที่อนุรักษ์นิยมเกินไป

เกณฑ์การตัดสินใจ

• เกณฑ์เฮอร์วิซ
• เกณฑ์ลาปลาซ
• เกณฑ์วาลด์