Minimax regret criterion (Savage criterion) — স্যাভেজ মানদণ্ড

স্যাভেজ মানদণ্ড (ন্যূনতম অনুতাপ মানদণ্ড নামেও পরিচিত) — অনিশ্চয়তার পরিস্থিতিতে সিদ্ধান্ত গ্রহণের একটি পদ্ধতি। এটি এমন পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করা হয় যখন বিভিন্ন ফলাফলের সম্ভাবনা অজানা, এবং লক্ষ্য হলো অ-সর্বোত্তম সিদ্ধান্ত গ্রহণের ফলে সম্ভাব্য ক্ষতি ন্যূনতম করা।

সাধারণ বৈশিষ্ট্য

অনিশ্চয়তার পরিস্থিতিতে প্রতিটি কৌশল বেছে নেওয়ার পরিণতি সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারিত নয়। সম্ভাব্য বিকল্পগুলো মূল্যায়নের জন্য ওয়াল্ড, হার্ভিজ, লাপ্লাস এবং স্যাভেজ মানদণ্ডের মতো বেশ কিছু মানদণ্ড ব্যবহার করা হয়। স্যাভেজ মানদণ্ড সর্বোচ্চ মুনাফা অর্জনের দিকে নয়, বরং সর্বোচ্চ অনুতাপ ন্যূনতম করার (সর্বোত্তম সম্ভাব্য ফলাফলের তুলনায় ক্ষতি) দিকে দৃষ্টি নিবদ্ধ করে।

অনুতাপ — এমন একটি মান যা প্রকাশ করে যে নির্দিষ্ট ফলাফলে সর্বোত্তম কৌশল না বেছে নেওয়ার কারণে কতটুকু সুযোগ হাতছাড়া হয়েছে।

স্যাভেজ মানদণ্ড প্রয়োগের অ্যালগরিদম

• পেমেন্ট ম্যাট্রিক্স গঠন: একটি সারণি তৈরি করা হয়, যার সারিগুলো সম্ভাব্য কৌশলের সাথে এবং স্তম্ভগুলো ঘটনার সম্ভাব্য ফলাফলের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। প্রতিটি ঘরে নির্দিষ্ট কৌশল ও ফলাফলের জন্য প্রত্যাশিত ফলাফল লেখা হয়।
• অনুতাপ ম্যাট্রিক্স (ঝুঁকি ম্যাট্রিক্স) নির্মাণ: প্রতিটি ফলাফলের (স্তম্ভের) জন্য সর্বোচ্চ লাভের মান নির্ধারণ করা হয়। তারপর প্রতিটি ঘরের জন্য অনুতাপের মান গণনা করা হয়:
• প্রতিটি কৌশলের জন্য সর্বোচ্চ অনুতাপ নির্ধারণ: অনুতাপ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারিতে সর্বোচ্চ মান (ওই কৌশলের জন্য সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে) বেছে নেওয়া হয়।
• সর্বোত্তম কৌশল বাছাই: যে কৌশলের জন্য সর্বোচ্চ অনুতাপ ন্যূনতম, সেই কৌশলটি বেছে নেওয়া হয়।

এভাবে, স্যাভেজ মানদণ্ড ভুল সিদ্ধান্তের কারণে সম্ভাব্য ক্ষতি ন্যূনতম করার নীতি বাস্তবায়ন করে।

গাণিতিক সূত্রায়ন

ধরা যাক দেওয়া আছে:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — উপলব্ধ কৌশলগুলোর (বিকল্পগুলোর) সেট।
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — প্রকৃতির সম্ভাব্য অবস্থার সেট।
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — কৌশল $s_i$ বেছে নেওয়া এবং অবস্থা ${\theta }_j$ ঘটার সময় লাভ (উপযোগিতা) ফাংশন। এটি প্রায়ই পেমেন্ট ম্যাট্রিক্স $A=[a_{ij}]$ দ্বারা উপস্থাপিত হয়, যেখানে $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$।

স্যাভেজ মানদণ্ড অনুতাপ (regret) বা সুযোগ হাতছাড়া ধারণার উপর ভিত্তি করে। প্রকৃতির অবস্থা ${\theta }_j$-এ কৌশল $s_i$-এর জন্য অনুতাপ $r(s_i,{\theta }_j)$ নির্ধারিত হয় সর্বোচ্চ সম্ভাব্য লাভের সাথে পার্থক্য হিসেবে, যা প্রকৃতির ওই অবস্থা ${\theta }_j$-এ পাওয়া যেতে পারতো (যদি ওই অবস্থার জন্য সর্বোত্তম কৌশল বেছে নেওয়া হতো), এবং কৌশল $s_i$ থেকে প্রকৃত লাভের মধ্যে।

স্যাভেজ মানদণ্ড প্রয়োগের অ্যালগরিদম:

1. অনুতাপ ম্যাট্রিক্স (ঝুঁকি ম্যাট্রিক্স) গণনা:

   ক) প্রকৃতির প্রতিটি অবস্থার জন্য (পেমেন্ট ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি স্তম্ভের জন্য) সর্বোচ্চ লাভ খুঁজে বের করা:

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   অবস্থা ${\theta }_j$ ঘটলে এটি সর্বোত্তম সম্ভাব্য ফলাফল।

   খ) অনুতাপ ম্যাট্রিক্সের উপাদান $R=[r_{ij}]$ গণনা করা:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   উপাদান $r_{ij}$ দেখায় যে অবস্থা ${\theta }_j$-এ কৌশল $s_i$-এর লাভ সর্বোচ্চ সম্ভাব্য লাভের চেয়ে কতটুকু কম। সমস্ত উপাদান $r_{ij}\ge 0$।

1. প্রতিটি কৌশলের জন্য সর্বোচ্চ অনুতাপ নির্ধারণ: প্রতিটি কৌশল $s_i$-এর জন্য (অনুতাপ ম্যাট্রিক্স $R$-এর প্রতিটি সারির জন্য) অনুতাপের দৃষ্টিকোণ থেকে সবচেয়ে খারাপ সম্ভাব্য ফলাফল নির্ধারণ করা হয়:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. ন্যূনতম সর্বোচ্চ অনুতাপযুক্ত কৌশল বাছাই (অনুতাপের মিনিম্যাক্স নীতি): যে কৌশল $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ প্রাপ্ত সর্বোচ্চ অনুতাপ ন্যূনতম করে তা বেছে নেওয়া হয়:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   অথবা, $r_{ij}$-এর প্রকাশ প্রতিস্থাপন করলে:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

স্যাভেজ মানদণ্ড ব্যবহারে অর্জিত সর্বোচ্চ অনুতাপের ন্যূনতম মান সমান: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

এভাবে, স্যাভেজ মানদণ্ড এমন কৌশল বেছে নেওয়ার লক্ষ্যে নিবেদিত যা প্রকৃতির প্রতিটি অবস্থার জন্য সর্বোত্তম সম্ভাব্য পদক্ষেপের তুলনায় ন্যূনতম ক্ষতির নিশ্চয়তা দেয়।

গাণিতিক সূত্রায়নের মূল বিষয়গুলো:

• অনুতাপ $r_{ij}$-এর সংজ্ঞা: এটি কেন্দ্রীয় ধারণা। এটি j স্তম্ভের সর্বোত্তম ফলাফল এবং বর্তমান ফলাফল a_{ij}-এর মধ্যে পার্থক্য হিসেবে গণনা করা হয় তা দেখানো গুরুত্বপূর্ণ।
• অনুতাপ ম্যাট্রিক্স $R$: এটি কীভাবে নির্মাণ করা হয় তা স্পষ্টভাবে উল্লেখ করা হয়েছে।
• $r_i^{max}$ নির্ধারণ: অনুতাপ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারিতে সর্বোচ্চ খোঁজার প্রক্রিয়া দেখানো হয়েছে।
• মিনিম্যাক্স নীতি: $max$ অনুতাপের $\arg min$-এর মাধ্যমে কৌশল বাছাই স্পষ্টভাবে সূত্রায়িত করা হয়েছে।
• ব্যবহৃত নোটেশন: গেম থিওরি ও সিদ্ধান্ত গ্রহণের তত্ত্বের জন্য প্রামাণিক (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min)।

সুবিধা ও অসুবিধা

সুবিধাসমূহ:

• ঝুঁকি ন্যূনতম করার দিকে দৃষ্টি নিবদ্ধ।
• উচ্চ অনিশ্চয়তার পরিস্থিতিতে বিশেষভাবে কার্যকর।

অসুবিধাসমূহ:

• শুধুমাত্র সম্ভাব্য ক্ষতির উপর মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করে প্রত্যাশিত মুনাফাকে উপেক্ষা করে।
• অতিরিক্ত রক্ষণশীল সিদ্ধান্তের দিকে নিয়ে যেতে পারে।

সিদ্ধান্ত গ্রহণের মানদণ্ড

• হার্ভিজ মানদণ্ড
• লাপ্লাস মানদণ্ড
• ওয়াল্ড মানদণ্ড