Minimax regret criterion (Savage criterion) — सैवेज मानदंड

सैवेज मानदंड (जिसे न्यूनतम खेद मानदंड के नाम से भी जाना जाता है) — अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेने की एक विधि है। इसका उपयोग उन परिस्थितियों में किया जाता है जब विभिन्न परिणामों की संभावनाएँ अज्ञात हों, और लक्ष्य अनुकूलतम निर्णय न लेने के कारण होने वाले संभावित नुकसान को न्यूनतम करना हो।

सामान्य विशेषता

अनिश्चितता की स्थिति में प्रत्येक रणनीति के चुनाव के परिणाम सटीक रूप से निर्धारित नहीं होते। संभावित विकल्पों का मूल्यांकन करने के लिए कई मानदंडों का उपयोग किया जाता है, जैसे वाल्ड, हर्विट्ज़, लाप्लास और सैवेज के मानदंड। सैवेज मानदंड अधिकतम लाभ प्राप्त करने पर नहीं, बल्कि अधिकतम खेद को न्यूनतम करने (सर्वोत्तम संभावित परिणाम की तुलना में होने वाली हानि को कम करने) पर केंद्रित है।

खेद (Regret) — वह मान है जो इस कारण हुए अवसर की हानि को दर्शाता है कि किसी विशेष परिणाम के लिए इष्टतम रणनीति नहीं चुनी गई।

सैवेज मानदंड के अनुप्रयोग का एल्गोरिदम

• भुगतान मैट्रिक्स का निर्माण: एक तालिका बनाई जाती है जिसकी पंक्तियाँ संभावित रणनीतियों के अनुरूप होती हैं, और स्तंभ — घटनाओं के संभावित परिणामों के अनुरूप। प्रतिच्छेदन पर किसी विशेष रणनीति और परिणाम के लिए अपेक्षित परिणाम लिखा जाता है।
• खेद मैट्रिक्स (जोखिम मैट्रिक्स) का निर्माण: प्रत्येक परिणाम (स्तंभ) के लिए अधिकतम लाभ मान निर्धारित किया जाता है। फिर प्रत्येक कोष्ठ के लिए खेद का मान परिकलित किया जाता है:
• प्रत्येक रणनीति के लिए अधिकतम खेद का निर्धारण: खेद मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम मान (उस रणनीति के लिए सबसे बुरी स्थिति) चुना जाता है।
• इष्टतम रणनीति का चुनाव: वह रणनीति चुनी जाती है जिसके लिए अधिकतम खेद न्यूनतम हो।

इस प्रकार, सैवेज मानदंड गलत निर्णय से होने वाले संभावित नुकसान को न्यूनतम करने के सिद्धांत को लागू करता है।

गणितीय सूत्रीकरण

मान लीजिए कि दिए गए हैं:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — उपलब्ध रणनीतियों (विकल्पों) का समुच्चय।
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — प्रकृति की संभावित अवस्थाओं का समुच्चय।
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — रणनीति $s_i$ चुनने और अवस्था ${\theta }_j$ आने पर लाभ (उपयोगिता) फ़ंक्शन। इसे प्रायः भुगतान मैट्रिक्स $A=[a_{ij}]$ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जहाँ $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$।

सैवेज मानदंड खेद (regret) या अवसर हानि की अवधारणा पर आधारित है। रणनीति $s_i$ के लिए प्रकृति की अवस्था ${\theta }_j$ पर खेद $r(s_i,{\theta }_j)$ को उस अधिकतम संभावित लाभ, जो उस प्रकृति अवस्था ${\theta }_j$ पर प्राप्त हो सकता था (यदि उस अवस्था के लिए सर्वोत्तम रणनीति चुनी गई होती), और रणनीति $s_i$ के वास्तविक लाभ के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।

सैवेज मानदंड के अनुप्रयोग का एल्गोरिदम:

1. खेद मैट्रिक्स (जोखिम मैट्रिक्स) की गणना:

   a) प्रकृति की प्रत्येक अवस्था (भुगतान मैट्रिक्स के प्रत्येक स्तंभ) के लिए अधिकतम लाभ खोजें:

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   यह वह सर्वोत्तम संभावित परिणाम है यदि अवस्था ${\theta }_j$ आती है।

   b) खेद मैट्रिक्स के अवयवों की गणना करें $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   अवयव $r_{ij}$ दर्शाता है कि अवस्था ${\theta }_j$ पर रणनीति $s_i$ का लाभ अधिकतम संभावित लाभ से कितना कम है। सभी अवयव $r_{ij}\ge 0$।

1. प्रत्येक रणनीति के लिए अधिकतम खेद ज्ञात करना: प्रत्येक रणनीति $s_i$ (खेद मैट्रिक्स $R$ की प्रत्येक पंक्ति) के लिए खेद की दृष्टि से उसका सबसे बुरा संभावित परिणाम निर्धारित किया जाता है:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. न्यूनतम अधिकतम खेद वाली रणनीति का चुनाव (खेद का मिनिमैक्स सिद्धांत): वह रणनीति $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ चुनी जाती है जो प्राप्त अधिकतम खेद को न्यूनतम करती है:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   अथवा, $r_{ij}$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

सैवेज मानदंड के उपयोग पर प्राप्त अधिकतम खेद का न्यूनतम मान बराबर है: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

इस प्रकार, सैवेज मानदंड उस रणनीति के चुनाव पर लक्षित है जो प्रकृति की प्रत्येक अवस्था के लिए सर्वोत्तम संभावित कार्रवाई के सापेक्ष सबसे कम नुकसान की गारंटी देती है।

गणितीय सूत्रीकरण में मुख्य बिंदु:

• खेद $r_{ij}$ की परिभाषा: यह केंद्रीय अवधारणा है। यह दर्शाना महत्वपूर्ण है कि इसकी गणना j स्तंभ के सर्वोत्तम परिणाम और वर्तमान परिणाम a_{ij} के बीच के अंतर के रूप में की जाती है।
• खेद मैट्रिक्स $R$: इसे कैसे बनाया जाता है, यह स्पष्ट रूप से बताया गया है।
• $r_i^{max}$ की खोज: खेद मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम की खोज दर्शाई गई है।
• मिनिमैक्स सिद्धांत: खेद के $max$ के $\arg min$ के माध्यम से रणनीति के चुनाव को स्पष्ट रूप से सूत्रबद्ध किया गया है।
• उपयोग किए गए संकेतन: खेल सिद्धांत और निर्णय लेने के लिए मानक (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min)।

गुण और दोष

लाभ:

• जोखिम को न्यूनतम करने पर केंद्रित है।
• उच्च अनिश्चितता की स्थितियों में विशेष रूप से प्रभावी है।

हानियाँ:

• अपेक्षित लाभ की उपेक्षा करते हुए केवल संभावित नुकसान पर ध्यान केंद्रित करता है।
• अत्यधिक रूढ़िवादी निर्णयों की ओर ले जा सकता है।

निर्णय के मानदंड

• हर्विट्ज़ मानदंड
• लाप्लास मानदंड
• वाल्ड मानदंड