Minimax regret criterion (Savage criterion) — معیار سوگ‌واری

معیار سوگ (Savage) (همچنین به نام معیار حداقل‌سازی پشیمانی شناخته می‌شود) — یکی از روش‌های تصمیم‌گیری در شرایط عدم قطعیت است. این معیار در موقعیت‌هایی به کار می‌رود که احتمال پیامدهای مختلف ناشناخته است و هدف، به حداقل رساندن زیان‌های احتمالی ناشی از اتخاذ تصمیم غیربهینه است.

ویژگی‌های کلی

در شرایط عدم قطعیت، پیامدهای انتخاب هر استراتژی به طور دقیق مشخص نیست. برای ارزیابی جایگزین‌های ممکن، معیارهایی نظیر معیار Wald، Hurwicz، Laplace و Savage به کار می‌روند. معیار Savage نه بر دستیابی به حداکثر سود، بلکه بر به حداقل رساندن حداکثر پشیمانی (زیان نسبت به بهترین نتیجه ممکن) تمرکز دارد.

پشیمانی — کمیتی است که سود از دست رفته را به دلیل انتخاب نشدن استراتژی بهینه در یک پیامد خاص نشان می‌دهد.

الگوریتم اعمال معیار Savage

• تشکیل ماتریس پرداخت: جدولی ساخته می‌شود که سطرهای آن با استراتژی‌های ممکن و ستون‌هایش با پیامدهای احتمالی رویدادها مطابقت دارند. در تقاطع هر سطر و ستون، نتیجه مورد انتظار برای آن استراتژی و پیامد خاص ثبت می‌شود.
• ساخت ماتریس پشیمانی (ماتریس ریسک): برای هر پیامد (ستون)، حداکثر مقدار سود تعیین می‌شود. سپس برای هر خانه، مقدار پشیمانی محاسبه می‌شود:
• تعیین حداکثر پشیمانی برای هر استراتژی: در هر سطر از ماتریس پشیمانی، بیشترین مقدار (بدترین حالت برای آن استراتژی) انتخاب می‌شود.
• انتخاب استراتژی بهینه: استراتژی‌ای انتخاب می‌شود که حداکثر پشیمانی آن کمینه باشد.

بدین ترتیب، معیار Savage اصل به حداقل رساندن زیان احتمالی ناشی از تصمیم‌گیری نادرست را پیاده‌سازی می‌کند.

فرمول‌بندی ریاضی

فرض کنید:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — مجموعه استراتژی‌های (جایگزین‌های) موجود.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — مجموعه حالت‌های ممکن طبیعت.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — تابع سود (مطلوبیت) در صورت انتخاب استراتژی $s_i$ و وقوع حالت ${\theta }_j$. اغلب به صورت ماتریس پرداخت $A=[a_{ij}]$ نمایش داده می‌شود، جایی که $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

معیار Savage بر مفهوم پشیمانی (regret) یا سود از دست رفته استوار است. پشیمانی $r(s_i,{\theta }_j)$ برای استراتژی $s_i$ در حالت طبیعت ${\theta }_j$ به صورت تفاوت بین حداکثر سود ممکنی که می‌توانست در آن حالت طبیعت ${\theta }_j$ به دست آید (اگر بهترین استراتژی برای آن حالت انتخاب می‌شد) و سود واقعی حاصل از استراتژی $s_i$ تعریف می‌شود.

الگوریتم اعمال معیار Savage:

1. محاسبه ماتریس پشیمانی (ریسک):

   الف) یافتن حداکثر سود برای هر حالت طبیعت (هر ستون ماتریس پرداخت):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   این بهترین نتیجه ممکن در صورت وقوع حالت ${\theta }_j$ است.

   ب) محاسبه عناصر ماتریس پشیمانی $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   عنصر $r_{ij}$ نشان می‌دهد که سود استراتژی $s_i$ چقدر کمتر از حداکثر ممکن در حالت ${\theta }_j$ است. تمام عناصر $r_{ij}\ge 0$.

1. یافتن حداکثر پشیمانی برای هر استراتژی: برای هر استراتژی $s_i$ (هر سطر از ماتریس پشیمانی $R$)، بدترین پیامد ممکن از نظر پشیمانی تعیین می‌شود:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. انتخاب استراتژی با کمترین حداکثر پشیمانی (اصل minimax پشیمانی): استراتژی $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ که حداکثر پشیمانی یافت‌شده را به حداقل می‌رساند، انتخاب می‌شود:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   یا با جایگذاری عبارت برای $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

کمترین مقدار حداکثر پشیمانی که با استفاده از معیار Savage حاصل می‌شود، برابر است با: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

بدین ترتیب، معیار Savage به انتخاب استراتژی‌ای می‌انجامد که کمترین زیان را نسبت به بهترین اقدام ممکن در هر حالت طبیعت تضمین می‌کند.

نکات کلیدی در فرمول‌بندی ریاضی:

• تعریف پشیمانی $r_{ij}$: این مفهوم محوری است. مهم است نشان داده شود که به صورت تفاوت بین بهترین پیامد در ستون j و پیامد جاری a_{ij} محاسبه می‌شود.
• ماتریس پشیمانی $R$: نحوه ساخت آن به صراحت بیان شده است.
• یافتن $r_i^{max}$: جستجوی بیشینه در هر سطر از ماتریس پشیمانی نشان داده شده است.
• اصل minimax: انتخاب استراتژی از طریق $\arg min$ از $max$ پشیمانی‌ها به روشنی فرمول‌بندی شده است.
• نمادهای به‌کاررفته: استاندارد در نظریه بازی‌ها و تصمیم‌گیری (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

مزایا و معایب

مزایا:

• بر به حداقل رساندن ریسک‌ها متمرکز است.
• در شرایط عدم قطعیت بالا به ویژه کارآمد است.

معایب:

• سود مورد انتظار را نادیده می‌گیرد و تنها بر زیان‌های احتمالی تمرکز می‌کند.
• ممکن است به تصمیمات بیش از حد محافظه‌کارانه منجر شود.

معیارهای تصمیم‌گیری

• معیار Hurwicz
• معیار Laplace
• معیار Wald