Minimax regret criterion (Savage criterion) — معیارِ سیویج

معیارِ سیویج (جسے کم از کم پچھتاوے کا معیار بھی کہا جاتا ہے) — غیر یقینی حالات میں فیصلہ سازی کے طریقوں میں سے ایک ہے۔ یہ اُن صورتحالوں میں استعمال ہوتا ہے جب مختلف نتائج کے امکانات معلوم نہ ہوں، اور مقصد غیر بہترین فیصلے کے نتیجے میں ہونے والے ممکنہ نقصان کو کم سے کم کرنا ہو۔

عمومی خصوصیات

غیر یقینی حالات میں ہر حکمتِ عملی کے انتخاب کے نتائج قطعی طور پر متعین نہیں ہوتے۔ ممکنہ متبادلات کی جانچ کے لیے کئی معیار استعمال کیے جاتے ہیں، جیسے والڈ، ہرویکز، لاپلاس اور سیویج کے معیار۔ معیارِ سیویج زیادہ سے زیادہ منافع حاصل کرنے کی بجائے زیادہ سے زیادہ پچھتاوے کو کم سے کم کرنے (بہترین ممکنہ نتیجے کے مقابلے میں نقصان کو کم کرنے) پر مرکوز ہے۔

پچھتاوا — وہ مقدار ہے جو اس وجہ سے ہاتھ سے گئے فائدے کی عکاسی کرتی ہے کہ کسی مخصوص نتیجے میں بہترین حکمتِ عملی اختیار نہیں کی گئی۔

معیارِ سیویج کے اطلاق کا الگورتھم

• ادائیگی میٹرکس کی تشکیل: ایک جدول بنایا جاتا ہے جس کی قطاریں ممکنہ حکمتِ عملیوں اور کالم ممکنہ واقعاتی نتائج سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ان کے تقاطع پر مخصوص حکمتِ عملی اور نتیجے کی صورت میں متوقع نتیجہ درج کیا جاتا ہے۔
• پچھتاوے کی میٹرکس (خطرے کی میٹرکس) کی تعمیر: ہر نتیجے (کالم) کے لیے زیادہ سے زیادہ فائدے کی قدر متعین کی جاتی ہے۔ پھر ہر خانے کے لیے پچھتاوے کی مقدار حسب ذیل طریقے سے نکالی جاتی ہے:
• ہر حکمتِ عملی کے لیے زیادہ سے زیادہ پچھتاوے کا تعین: پچھتاوے کی میٹرکس کی ہر قطار میں زیادہ سے زیادہ قدر (اس حکمتِ عملی کے لیے بدترین صورتِ حال) منتخب کی جاتی ہے۔
• بہترین حکمتِ عملی کا انتخاب: وہ حکمتِ عملی منتخب کی جاتی ہے جس کے لیے زیادہ سے زیادہ پچھتاوا کم سے کم ہو۔

اس طرح، معیارِ سیویج غلط فیصلے سے ہونے والے ممکنہ نقصان کو کم سے کم کرنے کے اصول کو نافذ کرتا ہے۔

ریاضیاتی فارمولیشن

فرض کیا جائے کہ دیے گئے ہیں:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — دستیاب حکمتِ عملیوں (متبادلات) کا مجموعہ۔
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — فطرت کی ممکنہ حالتوں کا مجموعہ۔
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — حکمتِ عملی $s_i$ کے انتخاب اور حالت ${\theta }_j$ کے پیش آنے پر فائدے (افادیت) کا فنکشن۔ اسے اکثر ادائیگی میٹرکس $A=[a_{ij}]$ کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، جہاں $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$۔

معیارِ سیویج پچھتاوے (regret) یا ہاتھ سے گئے فائدے کے تصور پر مبنی ہے۔ حکمتِ عملی $s_i$ کا فطرت کی حالت ${\theta }_j$ میں پچھتاوا $r(s_i,{\theta }_j)$ اس فرق کے طور پر متعین کیا جاتا ہے جو فطرت کی اس حالت ${\theta }_j$ میں ملنے والے زیادہ سے زیادہ ممکنہ فائدے (اگر اس حالت کے لیے بہترین حکمتِ عملی اختیار کی جاتی) اور حکمتِ عملی $s_i$ سے حاصل ہونے والے اصل فائدے کے درمیان ہے۔

معیارِ سیویج کے اطلاق کا الگورتھم:

1. پچھتاوے کی میٹرکس (خطرات) کا حساب:

   الف) فطرت کی ہر حالت (ادائیگی میٹرکس کے ہر کالم) کے لیے زیادہ سے زیادہ فائدہ معلوم کریں:

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   یہ بہترین ممکنہ نتیجہ ہے اگر حالت ${\theta }_j$ پیش آئے۔

   ب) پچھتاوے کی میٹرکس کے عناصر $R=[r_{ij}]$ کا حساب لگائیں:

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   عنصر $r_{ij}$ ظاہر کرتا ہے کہ حکمتِ عملی $s_i$ کا فائدہ حالت ${\theta }_j$ میں زیادہ سے زیادہ ممکنہ فائدے سے کتنا کم ہے۔ تمام عناصر $r_{ij}\ge 0$۔

1. ہر حکمتِ عملی کے لیے زیادہ سے زیادہ پچھتاوے کا تعین: ہر حکمتِ عملی $s_i$ (پچھتاوے کی میٹرکس $R$ کی ہر قطار) کے لیے پچھتاوے کے لحاظ سے اس کا بدترین ممکنہ نتیجہ متعین کیا جاتا ہے:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. کم سے کم زیادہ سے زیادہ پچھتاوے والی حکمتِ عملی کا انتخاب (پچھتاوے کا minimax اصول): وہ حکمتِ عملی $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ منتخب کی جاتی ہے جو معلوم کردہ زیادہ سے زیادہ پچھتاوے کو کم سے کم کرتی ہے:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   یا $r_{ij}$ کے لیے تاثیر رکھتے ہوئے:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

معیارِ سیویج کے استعمال سے حاصل ہونے والے زیادہ سے زیادہ پچھتاوے کی کم سے کم قدر یہ ہے: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

اس طرح، معیارِ سیویج ایسی حکمتِ عملی کے انتخاب کی طرف مائل ہے جو فطرت کی ہر حالت کے لیے بہترین ممکنہ عمل کے مقابلے میں کم سے کم نقصان کی ضمانت دے۔

ریاضیاتی فارمولیشن کے اہم نکات:

• پچھتاوے $r_{ij}$ کی تعریف: یہ مرکزی تصور ہے۔ یہ ظاہر کرنا ضروری ہے کہ اسے کالم j کے بہترین نتیجے اور موجودہ نتیجے a_{ij} کے درمیان فرق کے طور پر نکالا جاتا ہے۔
• پچھتاوے کی میٹرکس $R$: واضح طور پر بتایا گیا ہے کہ یہ کیسے بنائی جاتی ہے۔
• $r_i^{max}$ کا تعین: پچھتاوے کی میٹرکس کی ہر قطار میں زیادہ سے زیادہ قدر کی تلاش دکھائی گئی ہے۔
• minimax اصول: $max$ پچھتاوؤں میں سے $\arg min$ کے ذریعے حکمتِ عملی کا انتخاب واضح طور پر مرتب کیا گیا ہے۔
• استعمال شدہ علامات: کھیل کے نظریے اور فیصلہ سازی کی معیاری علامات (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min)۔

خوبیاں اور خامیاں

فوائد:

• خطرات کو کم سے کم کرنے پر مرکوز ہے۔
• خاص طور پر انتہائی غیر یقینی حالات میں مؤثر ہے۔

نقصانات:

• متوقع منافع کو نظرانداز کرتے ہوئے صرف ممکنہ نقصانات پر توجہ مرکوز کرتا ہے۔
• حد سے زیادہ قدامت پسندانہ فیصلوں کا باعث بن سکتا ہے۔

فیصلہ سازی کے معیار

• معیارِ ہرویکز
• معیارِ لاپلاس
• معیارِ والڈ