Maximin criterion (Wald criterion) — 발트 기준

발트 기준(Wald criterion)은 불확실성 조건에서 의사결정을 위한 주요 방법 중 하나입니다. 이 기준은 극단적 비관주의 원칙에 기반하며, 최악의 가능한 시나리오에서 최선의 결과를 보장하는 전략을 선택하는 것을 목표로 합니다.

기준의 본질

이 기준은 의사결정자가 각 전략에 대해 가장 불리한 결과를 기준으로 판단한다고 가정합니다. 각 대안에 대해 가능한 최악의 결과가 결정됩니다. 모든 전략 중에서 해당 최악의 결과가 전체 중 가장 좋은 전략이 선택됩니다.

다시 말해, 발트 기준은 최대 손실을 최소화하고 불리한 조건에 대한 최대 보호를 제공하는 것을 목표로 합니다.

기준의 적용

적용 과정은 다음 단계를 포함합니다:

1. 각 전략에 대해 가능한 최악의 결과를 결정합니다.
2. 모든 전략의 최악의 결과를 비교합니다.
3. 최악의 결과 중 가장 좋은 결과를 가진 전략을 선택합니다.

이 접근법은 다양한 결과의 발생 확률에 관계없이 위험을 최소화하려는 극도로 신중한 의사결정자에게 특징적입니다.

수학적 정식화

다음이 주어진다고 가정합니다:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — 의사결정자(ЛПР)가 선택할 수 있는 전략(대안)의 집합.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — 의사결정자의 선택과 무관한 가능한 자연 상태(외부 조건, 시나리오)의 집합.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — 전략 $s_i\in S$를 선택하고 자연 상태 ${\theta }_j\in \Theta$가 발생할 때의 결과에 대한 수치적 평가를 나타내는 이득(효용) 함수. 흔히 $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$인 이득 행렬 $A=[a_{ij}]$ 형태로 표현됩니다.

발트 기준(또는 최대최소 기준)은 다음 절차를 규정합니다:

1. 각 전략에 대한 최소 이득 산출: 각 전략 $s_i$에 대해 모든 가능한 자연 상태에서의 가장 불리한 결과(최소 이득)가 결정됩니다:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. 최소 이득 중 최대값을 가진 전략 선택: 산출된 최소 이득 중 가장 큰 값을 보장하는 전략 $s_{\text{Wald}}^{\ast }$이 선택됩니다:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

발트 기준 적용 시 보장된(최소) 이득 수준은 다음과 같습니다: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

따라서 발트 기준은 최대최소(maximin) 원칙, 즉 최소 이득의 최대화를 구현합니다. 이 기준은 어떤 결정을 내리든 자연이 의사결정자에게 가장 불리한 방식으로 반응한다고 가정하는 비관적 관점을 취합니다.

손실 함수에 관한 주의사항

이득 함수 $u(s_i,{\theta }_j)$ 대신 최소화가 요구되는 손실 함수 $L(s_i,{\theta }_j)$를 사용하는 경우, 발트 기준은 최소최대(minimax) 손실 기준으로 변환됩니다:

1. 각 전략 $s_i$에 대해 최대 손실값을 구합니다: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. 이 최대 손실을 최소화하는 전략을 선택합니다: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

장점과 단점

장점:

• 방법의 단순성과 명확성.
• 완전한 불확실성 조건에서 높은 수준의 의사결정 안전성 보장.

단점:

• 과도한 비관주의: 손실 최소화를 위해 잠재적으로 높은 이익이 무시됩니다.
• 지나치게 보수적인 전략 선택으로 이어질 수 있습니다.