Maximin criterion (Wald criterion) — เกณฑ์ของวาลด์

เกณฑ์ของวาลด์ — หนึ่งในวิธีหลักของการตัดสินใจในสภาวะที่ไม่แน่นอน วิธีนี้ตั้งอยู่บนหลักการของความมองโลกในแง่ร้ายอย่างสุดขีด และมุ่งเลือกกลยุทธ์ที่ให้ผลลัพธ์ดีที่สุดในสถานการณ์เลวร้ายที่สุดที่เป็นไปได้

สาระสำคัญของเกณฑ์

เกณฑ์นี้สมมติว่าผู้ตัดสินใจมุ่งเน้นไปที่ผลลัพธ์ที่เลวร้ายที่สุดสำหรับแต่ละกลยุทธ์ สำหรับแต่ละทางเลือกจะถูกกำหนดผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดที่เป็นไปได้ จากนั้นเลือกกลยุทธ์ที่ผลลัพธ์เลวร้ายที่สุดนั้นดีที่สุดในบรรดาทุกกลยุทธ์

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เกณฑ์ของวาลด์มุ่งลดการสูญเสียสูงสุดให้น้อยที่สุด และให้การป้องกันสูงสุดจากสภาวะที่ไม่เอื้ออำนวย

การประยุกต์ใช้เกณฑ์

กระบวนการประยุกต์ใช้ประกอบด้วยขั้นตอนดังต่อไปนี้:

1. กำหนดผลลัพธ์ที่เลวร้ายที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละกลยุทธ์
2. เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดของทุกกลยุทธ์
3. เลือกกลยุทธ์ที่มีผลลัพธ์ดีที่สุดในบรรดาผลลัพธ์เลวร้ายที่สุด

แนวทางนี้มีลักษณะเฉพาะสำหรับผู้ที่ระมัดระวังอย่างยิ่ง ซึ่งพยายามลดความเสี่ยงให้น้อยที่สุดโดยไม่คำนึงถึงความน่าจะเป็นของการเกิดผลลัพธ์ต่าง ๆ

สูตรทางคณิตศาสตร์

กำหนดให้:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — เซตของกลยุทธ์ (ทางเลือก) ที่มีอยู่ ซึ่งผู้ตัดสินใจ (ผู้มีอำนาจตัดสินใจ) เลือกจาก
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — เซตของสภาวะธรรมชาติที่เป็นไปได้ (เงื่อนไขภายนอก สถานการณ์) ที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกของผู้มีอำนาจตัดสินใจ
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — ฟังก์ชันผลตอบแทน (อรรถประโยชน์) ซึ่งเป็นการประเมินเชิงตัวเลขของผลลัพธ์เมื่อเลือกกลยุทธ์ $s_i\in S$ และเกิดสภาวะธรรมชาติ ${\theta }_j\in \Theta$ โดยมักแสดงในรูปของเมทริกซ์การจ่าย $A=[a_{ij}]$ โดยที่ $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$

เกณฑ์ของวาลด์ (หรือเกณฑ์แม็กซิมิน) กำหนดขั้นตอนดังต่อไปนี้:

1. การหาผลตอบแทนขั้นต่ำสำหรับแต่ละกลยุทธ์: สำหรับแต่ละกลยุทธ์ $s_i$ จะถูกกำหนดผลลัพธ์ที่เลวร้ายที่สุดที่เป็นไปได้ (ผลตอบแทนขั้นต่ำ) ในทุกสภาวะธรรมชาติที่เป็นไปได้:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. การเลือกกลยุทธ์ที่มีค่าสูงสุดในบรรดาผลตอบแทนขั้นต่ำ: เลือกกลยุทธ์ $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ ที่ให้ค่าสูงสุดในบรรดาผลตอบแทนขั้นต่ำที่พบ:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

ระดับผลตอบแทนขั้นต่ำที่รับประกันได้เมื่อใช้เกณฑ์ของวาลด์มีค่าเท่ากับ: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

ดังนั้น เกณฑ์ของวาลด์จึงนำหลักการ แม็กซิมิน ไปปฏิบัติ — การทำให้ผลตอบแทนขั้นต่ำสูงสุด วิธีนี้มุ่งเน้นมุมมองในแง่ร้าย โดยสมมติว่าไม่ว่าจะตัดสินใจอย่างไร ธรรมชาติจะตอบสนองในลักษณะที่เป็นประโยชน์น้อยที่สุดต่อผู้มีอำนาจตัดสินใจ

หมายเหตุเกี่ยวกับฟังก์ชันการสูญเสีย

หากแทนที่จะใช้ฟังก์ชันผลตอบแทน $u(s_i,{\theta }_j)$ ใช้ฟังก์ชันการสูญเสีย $L(s_i,{\theta }_j)$ ซึ่งต้องการลดค่าให้น้อยที่สุด เกณฑ์ของวาลด์จะกลายเป็นเกณฑ์ มินิแม็กซ์ของการสูญเสีย:

1. สำหรับแต่ละกลยุทธ์ $s_i$ หาค่าสูงสุดของการสูญเสีย: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. เลือกกลยุทธ์ที่ลดค่าการสูญเสียสูงสุดเหล่านั้นให้น้อยที่สุด: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

ข้อดีและข้อเสีย

ข้อดี:

• ความเรียบง่ายและความชัดเจนของวิธีการ
• การรับประกันระดับความปลอดภัยสูงของการตัดสินใจในสภาวะที่ไม่แน่นอนอย่างสมบูรณ์

ข้อเสีย:

• ความมองโลกในแง่ร้ายเกินไป: ผลประโยชน์สูงที่เป็นไปได้ถูกละเลยเพื่อลดการสูญเสียให้น้อยที่สุด
• อาจนำไปสู่การเลือกกลยุทธ์ที่อนุรักษ์นิยมเกินไป