Maximin criterion (Wald criterion) — ওয়ালড মানদণ্ড

ওয়ালড মানদণ্ড — অনিশ্চয়তার পরিস্থিতিতে সিদ্ধান্ত গ্রহণের অন্যতম প্রধান পদ্ধতি। এটি চরম নৈরাশ্যবাদের নীতির উপর ভিত্তি করে গড়ে উঠেছে এবং এমন কৌশল বেছে নেওয়ার লক্ষ্যে পরিচালিত হয় যা সবচেয়ে খারাপ সম্ভাব্য পরিস্থিতিতে সর্বোত্তম ফলাফল নিশ্চিত করে।

মানদণ্ডের সারাংশ

মানদণ্ডটি অনুমান করে যে সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী প্রতিটি কৌশলের জন্য সবচেয়ে প্রতিকূল ফলাফলের দিকে মনোযোগ দেন। প্রতিটি বিকল্পের জন্য তার সবচেয়ে খারাপ সম্ভাব্য ফলাফল নির্ধারণ করা হয়। সমস্ত কৌশলের মধ্যে সেটি বেছে নেওয়া হয় যার সবচেয়ে খারাপ ফলাফল সকলের মধ্যে সর্বোত্তম।

অন্য কথায়, ওয়ালড মানদণ্ড সর্বোচ্চ ক্ষতি হ্রাস করার লক্ষ্যে পরিচালিত হয় এবং প্রতিকূল পরিস্থিতির বিরুদ্ধে সর্বোচ্চ সুরক্ষা নিশ্চিত করে।

মানদণ্ডের প্রয়োগ

প্রয়োগ প্রক্রিয়ায় নিম্নলিখিত ধাপগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:

1. প্রতিটি কৌশলের জন্য সবচেয়ে খারাপ সম্ভাব্য ফলাফল নির্ধারণ করা হয়।
2. সমস্ত কৌশলের সবচেয়ে খারাপ ফলাফলগুলি তুলনা করা হয়।
3. সবচেয়ে খারাপ ফলাফলগুলির মধ্যে সর্বোত্তমটিযুক্ত কৌশলটি বেছে নেওয়া হয়।

এই পদ্ধতিটি অত্যন্ত সতর্ক ব্যক্তিদের জন্য বৈশিষ্ট্যপূর্ণ যারা বিভিন্ন ফলাফলের সম্ভাবনা নির্বিশেষে ঝুঁকি হ্রাস করতে চান।

গাণিতিক সূত্রায়ন

ধরা যাক নিম্নলিখিতগুলি দেওয়া আছে:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — উপলব্ধ কৌশলগুলির (বিকল্পগুলির) সমষ্টি, যেগুলি থেকে সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী (সিগ্র) বেছে নেন।
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — প্রকৃতির সম্ভাব্য অবস্থাগুলির সমষ্টি (বাহ্যিক পরিস্থিতি, পরিস্থিতিকল্প), যা সিগ্রের পছন্দ থেকে স্বাধীন।
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — লাভের (উপযোগিতার) ফাংশন, যা কৌশল $s_i\in S$ বেছে নেওয়া এবং প্রকৃতির অবস্থা ${\theta }_j\in \Theta$ ঘটার সময় ফলাফলের সংখ্যাগত মূল্যায়ন প্রতিনিধিত্ব করে। প্রায়ই পেমেন্ট ম্যাট্রিক্স $A=[a_{ij}]$ আকারে উপস্থাপিত হয়, যেখানে $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$।

ওয়ালড মানদণ্ড (বা ম্যাক্সিমিন মানদণ্ড) নিম্নলিখিত কার্যক্রম নির্দেশ করে:

1. প্রতিটি কৌশলের জন্য ন্যূনতম লাভ নির্ধারণ: প্রতিটি কৌশল $s_i$-এর জন্য সমস্ত সম্ভাব্য প্রকৃতির অবস্থার মধ্যে সবচেয়ে খারাপ সম্ভাব্য ফলাফল (ন্যূনতম লাভ) নির্ধারণ করা হয়:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. ন্যূনতম লাভগুলির মধ্যে সর্বোচ্চটিযুক্ত কৌশল বেছে নেওয়া: সেই কৌশল $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ বেছে নেওয়া হয় যা পাওয়া ন্যূনতম লাভগুলির মধ্যে সর্বোচ্চ মান নিশ্চিত করে:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

ওয়ালড মানদণ্ড ব্যবহার করার সময় নিশ্চিত (ন্যূনতম) লাভের স্তর হল: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

সুতরাং, ওয়ালড মানদণ্ড ম্যাক্সিমিন নীতি বাস্তবায়ন করে — ন্যূনতম লাভের সর্বোচ্চকরণ। এটি একটি নৈরাশ্যবাদী দৃষ্টিভঙ্গির উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে, অনুমান করে যে যে সিদ্ধান্তই নেওয়া হোক না কেন, প্রকৃতি সিগ্রের জন্য সবচেয়ে কম অনুকূলভাবে সাড়া দেবে।

ক্ষতির ফাংশন সম্পর্কে মন্তব্য

যদি লাভের ফাংশন $u(s_i,{\theta }_j)$-এর পরিবর্তে ক্ষতির ফাংশন $L(s_i,{\theta }_j)$ ব্যবহার করা হয়, যা হ্রাস করতে হবে, তাহলে ওয়ালড মানদণ্ড মিনিম্যাক্স ক্ষতির মানদণ্ড-এ পরিণত হয়:

1. প্রতিটি কৌশল $s_i$-এর জন্য সর্বোচ্চ ক্ষতির মান খোঁজা হয়: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. সেই কৌশলটি বেছে নেওয়া হয় যা এই সর্বোচ্চ ক্ষতিগুলি হ্রাস করে: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

সুবিধা ও অসুবিধা

সুবিধা:

• পদ্ধতির সরলতা ও স্পষ্টতা।
• সম্পূর্ণ অনিশ্চয়তার পরিস্থিতিতে সিদ্ধান্তের উচ্চ মাত্রার নিরাপত্তা নিশ্চিত করা।

অসুবিধা:

• অতিরিক্ত নৈরাশ্যবাদ: ক্ষতি হ্রাস করার জন্য সম্ভাব্য উচ্চ সুবিধাগুলি উপেক্ষা করা হয়।
• অতি রক্ষণশীল কৌশল বেছে নেওয়ার দিকে নিয়ে যেতে পারে।