Maximin criterion (Wald criterion) — معیار ماکسیمین (معیار والد)

معیار والد — یکی از روش‌های اصلی تصمیم‌گیری در شرایط عدم‌قطعیت است. این معیار بر اصل بدبینی افراطی استوار است و هدف آن انتخاب استراتژی‌ای است که بهترین نتیجه را در بدترین سناریوی ممکن تضمین می‌کند.

ماهیت معیار

این معیار فرض می‌کند که تصمیم‌گیرنده بر بدترین پیامد ممکن برای هر استراتژی تمرکز دارد. برای هر گزینه، بدترین نتیجه‌ی ممکن آن تعیین می‌شود. سپس از میان همه‌ی استراتژی‌ها، آن استراتژی‌ای انتخاب می‌شود که بدترین نتیجه‌اش بهترین در میان همه باشد.

به عبارت دیگر، معیار والد در پی کمینه‌سازی بیشینه‌ی زیان‌هاست و بیشترین حفاظت را در برابر شرایط نامساعد فراهم می‌کند.

کاربرد معیار

فرایند کاربرد شامل گام‌های زیر است:

1. برای هر استراتژی، بدترین نتیجه‌ی ممکن تعیین می‌شود.
2. بدترین نتایج همه‌ی استراتژی‌ها با یکدیگر مقایسه می‌شوند.
3. استراتژی‌ای که بهترین نتیجه را در میان بدترین پیامدها دارد انتخاب می‌شود.

این رویکرد برای افراد بسیار محتاط که می‌خواهند ریسک را صرف‌نظر از احتمال وقوع پیامدهای مختلف به حداقل برسانند، مناسب است.

فرمول‌بندی ریاضی

فرض کنید داده شده است:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — مجموعه‌ی استراتژی‌های (گزینه‌های) در دسترس که تصمیم‌گیرنده (LPR) از میان آن‌ها انتخاب می‌کند.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — مجموعه‌ی حالت‌های ممکن طبیعت (شرایط بیرونی، سناریوها) که مستقل از انتخاب LPR هستند.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — تابع سود (مطلوبیت) که ارزیابی عددی نتیجه را هنگام انتخاب استراتژی $s_i\in S$ و وقوع حالت طبیعت ${\theta }_j\in \Theta$ نشان می‌دهد. اغلب به صورت ماتریس پرداخت $A=[a_{ij}]$ نمایش داده می‌شود، جایی که $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

معیار والد (یا معیار maximin) ترتیب عمل زیر را تجویز می‌کند:

1. یافتن حداقل سود برای هر استراتژی: برای هر استراتژی $s_i$، بدترین پیامد ممکن آن (حداقل سود) در میان همه‌ی حالت‌های ممکن طبیعت تعیین می‌شود:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. انتخاب استراتژی با بیشترین مقدار در میان حداقل سودها: آن استراتژی $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ انتخاب می‌شود که بیشترین مقدار را در میان حداقل سودهای یافت‌شده تضمین کند:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

سطح سود تضمین‌شده (حداقل) هنگام استفاده از معیار والد برابر است با: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

بدین ترتیب، معیار والد اصل maximin را پیاده‌سازی می‌کند — بیشینه‌سازی حداقل سود. این معیار بر دیدگاه بدبینانه استوار است و فرض می‌کند که هر تصمیمی گرفته شود، طبیعت با نامساعدترین حالت برای LPR پاسخ خواهد داد.

یادداشت درباره‌ی تابع زیان

اگر به جای تابع سود $u(s_i,{\theta }_j)$ از تابع زیان $L(s_i,{\theta }_j)$ استفاده شود که باید کمینه شود، آنگاه معیار والد به معیار minimax زیان تبدیل می‌شود:

1. برای هر استراتژی $s_i$ حداکثر مقدار زیان یافت می‌شود: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. استراتژی‌ای انتخاب می‌شود که این حداکثر زیان‌ها را کمینه کند: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

مزایا و معایب

مزایا:

• سادگی و وضوح روش.
• تأمین درجه‌ی بالایی از امنیت تصمیمات در شرایط عدم‌قطعیت کامل.

معایب:

• بدبینی افراطی: سودهای بالقوه‌ی بالا به نفع کمینه‌سازی زیان نادیده گرفته می‌شوند.
• ممکن است به انتخاب استراتژی‌های بیش از حد محافظه‌کارانه منجر شود.