Maximin criterion (Wald criterion) — קריטריון וולד

קריטריון וולד — אחת השיטות המרכזיות לקבלת החלטות בתנאי אי-ודאות. הוא מבוסס על עקרון הפסימיות הקיצונית ומכוון לבחירת אסטרטגיה המבטיחה את התוצאה הטובה ביותר בתרחיש הגרוע ביותר האפשרי.

מהות הקריטריון

הקריטריון מניח שמקבל ההחלטה מתמקד בתוצאה הגרועה ביותר עבור כל אסטרטגיה. עבור כל חלופה נקבע תוצאתה הגרועה ביותר האפשרית. מבין כל האסטרטגיות נבחרת זו שתוצאתה הגרועה ביותר — הטובה ביותר מבין כולן.

במילים אחרות, קריטריון וולד מכוון למינימיזציה של ההפסדים המקסימליים ומספק את ההגנה הגדולה ביותר מפני תנאים בלתי נוחים.

יישום הקריטריון

תהליך היישום כולל את השלבים הבאים:

1. עבור כל אסטרטגיה נקבע התוצאה הגרועה ביותר האפשרית.
2. משווים את התוצאות הגרועות ביותר של כל האסטרטגיות.
3. נבחרת האסטרטגיה בעלת הטובה שבתוצאות הגרועות ביותר.

גישה זו אופיינית לאנשים זהירים ביותר, השואפים למזער סיכונים ללא קשר להסתברות התרחשותם של תוצאות שונות.

ניסוח מתמטי

יהיו נתונים:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — קבוצת האסטרטגיות (החלופות) הזמינות, שמהן בוחר מקבל ההחלטה (מקה"ח).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — קבוצת מצבי הטבע האפשריים (תנאים חיצוניים, תרחישים), שאינם תלויים בבחירת מקה"ח.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — פונקציית הרווח (התועלת), המהווה הערכה מספרית של התוצאה בעת בחירת אסטרטגיה $s_i\in S$ והתרחשות מצב טבע ${\theta }_j\in \Theta$. לרוב מיוצגת בצורת מטריצת תשלומים $A=[a_{ij}]$, כאשר $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

קריטריון וולד (או קריטריון המקסימין) קובע את סדר הפעולות הבא:

1. מציאת הרווח המינימלי עבור כל אסטרטגיה: עבור כל אסטרטגיה $s_i$ נקבע תוצאתה הגרועה ביותר האפשרית (הרווח המינימלי) על פני כל מצבי הטבע האפשריים:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. בחירת האסטרטגיה בעלת המקסימום מבין הרווחים המינימליים: נבחרת האסטרטגיה $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ המבטיחה את הערך הגדול ביותר מבין הרווחים המינימליים שנמצאו:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

רמת הרווח המובטחת (המינימלית) בשימוש בקריטריון וולד שווה ל: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

כך מממש קריטריון וולד את עקרון המקסימין — מקסימיזציה של הרווח המינימלי. הוא מכוון לראייה פסימית, בהנחה שיהיה אשר יהיה ההחלטה שתתקבל, הטבע יגיב בצורה הפחות נוחה עבור מקה"ח.

הערה על פונקציית ההפסד

אם במקום פונקציית הרווח $u(s_i,{\theta }_j)$ משתמשים בפונקציית ההפסד $L(s_i,{\theta }_j)$, שיש למזערה, קריטריון וולד הופך לקריטריון המינימקס של ההפסדים:

1. עבור כל אסטרטגיה $s_i$ מוצא הערך המקסימלי של ההפסדים: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. נבחרת האסטרטגיה הממזערת הפסדים מקסימליים אלה: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

יתרונות וחסרונות

יתרונות:

• פשטות ובהירות השיטה.
• הבטחת רמת ביטחון גבוהה של ההחלטות בתנאי אי-ודאות מוחלטת.

חסרונות:

• פסימיות מופרזת: רווחים גבוהים אפשריים נדחים למען מינימיזציית ההפסדים.
• עלול להוביל לבחירת אסטרטגיות שמרניות מדי.