Mathematisch modelleren

Mathematisch modelleren — dit is een onderzoeksmethode waarbij een reëel object, proces of verschijnsel wordt vervangen door een wiskundig model, waarmee het gedrag van het systeem met behulp van wiskundige methoden kan worden geanalyseerd.

Wezen van mathematisch modelleren

Mathematisch modelleren omvat:

• de formalisering van de wezenlijke kenmerken van het onderzochte object;
• de opbouw van een wiskundig model dat de verbanden tussen parameters uitdrukt;
• het onderzoek van het model met analytische, numerieke of simulatiemethoden;
• de interpretatie van de resultaten in relatie tot het reële systeem.

Een model is altijd een vereenvoudiging van de werkelijkheid en weerspiegelt doelbewust alleen die aspecten ervan die van belang zijn voor de gestelde onderzoeks- of ontwerpdoelen.

Doelen van mathematisch modelleren

Wiskundige modellen worden ontwikkeld voor:

• de beschrijving van de structuur, eigenschappen en werking van systemen;
• de verklaring van waargenomen verschijnselen door het blootleggen van wetmatigheden;
• de voorspelling van toekomstig gedrag van systemen bij bepaalde invloeden;
• de optimalisatie van processen en regelsystemen;
• het uitvoeren van virtuele experimenten die in de werkelijkheid onmogelijk of ongewenst zijn.

Classificatie van wiskundige modellen

• Naar beschrijvingswijze: Deterministisch en stochastisch (probabilistisch).
• Naar tijdskarakter: Statisch en dynamisch.
• Naar variabelenkarakter: Discreet en continu.
• Naar mate van detaillering: Macroscopisch, microscopisch, mesoscopisch.
• Naar gebruikte methoden: Analytisch, numeriek, simulatief.
• Naar doel: Beschrijvend, voorspellend, optimaliserend, simulatief.
• Naar structuur: Lineair en niet-lineair.
• Naar constructiebenadering: Fenomenologisch (empirisch) en mechanistisch (theoretisch).

Fasen van mathematisch modelleren

In het algemeen zijn de fasen van mathematisch modelleren als volgt:

1. Probleemstelling:
   • Bepaling van het doel van de modellering (wat willen we weten of bereiken?).
   • Beschrijving van het object of het proces en de begrenzing ervan.
   • Identificatie van de sleutelfactoren en kenmerken die in aanmerking moeten worden genomen.
2. Opbouw (of keuze) van het model:
   • Formalisering: Vertaling van de beschrijving van het object en de verbanden naar de taal van de wiskunde (vergelijkingen, functies, logische regels, algoritmen, enz.).
   • Invoering van aannames en vereenvoudigingen om het essentiële te benadrukken.
   • Bepaling van de modelparameters en hun onderlinge verbanden.
3. Onderzoek van het model:
   • Oplossing van de wiskundige opgave (analytisch, numeriek, simulatief).
   • Uitvoering van rekenexperimenten om het gedrag van het model onder verschillende omstandigheden te bestuderen.
4. Controle van de adequaatheid (validatie) van het model:
   • Vergelijking van de modelleringsresultaten met werkelijke gegevens (experimentele, geobserveerde) of bekende feiten.
   • Beoordeling van hoe goed het model de werkelijkheid weerspiegelt voor het gestelde doel.
5. Interpretatie en toepassing van de resultaten:
   • Analyse van de verkregen modelleringsgegevens.
   • Vertaling van de resultaten naar de taal van het oorspronkelijke probleem.
   • Formulering van conclusies en voorspellingen, ontwikkeling van aanbevelingen of het nemen van beslissingen op basis van het model.

Dit proces is vaak iteratief. Onbevredigende validatie- of interpretatieresultaten kunnen vereisen dat wordt teruggekeerd naar eerdere fasen (verfijning van de probleemstelling, wijziging van aannames, aanpassing van het model).

Principiële benadering

De principiële benadering, gebaseerd op het werk van Clive Dym (Principles of Mathematical Modeling), stelt voor modellering te beschouwen als een opeenvolging van antwoorden op sleutelvragen:

• Why? (Waarom?): Wat is de behoefte aan het model? Het doel van de modellering en het probleem dat het model moet helpen oplossen, moeten duidelijk worden gedefinieerd.
• Find? (Vinden?): Wat willen we weten? Welke specifieke uitvoergegevens, kenmerken of informatie moet het model leveren om het doel te bereiken?
• Given? (Gegeven?): Wat weten we al? Welke informatie, gegevens (experimenteel, statistisch), kennis over het systeem en beschikbare middelen zijn reeds voorhanden?
• Assume? (Aannames?): Welke aannames doen we? Bepaling van vereenvoudigingen, idealisaties, hypothesen over het gedrag van het systeem en de grenzen van de toepasbaarheid van het model. Deze stap is van cruciaal belang, omdat zij de adequaatheid van het model bepaalt.
• How? (Hoe?): Hoe functioneert het systeem? Identificatie van de fundamentele wetten (fysische, chemische, biologische, economische, enz.), mechanismen en verbanden die het gedrag van het te modelleren object bepalen.
• Predict? (Voorspelling?): Wat zal het model voorspellen? Formulering van wiskundige vergelijkingen, ongelijkheden, logische regels of algoritmen die de kern van het model vormen, en bepaling van de te verrichten berekeningen.
• Valid? (Geldigheid?): In hoeverre stemmen de voorspellingen van het model overeen met de werkelijkheid? Vergelijking van de modelleringsresultaten met werkelijke gegevens of bekende feiten om de adequaatheid van het model ten opzichte van de gestelde doelen te controleren.
• Verified? (Bruikbaarheid/Verificatie?): Is het model bruikbaar om het oorspronkelijke doel (Why?) te bereiken? Voldoen de verkregen resultaten en de nauwkeurigheid van het model aan de oorspronkelijke behoefte? (In deze fase kan ook verificatie plaatsvinden — controle van de juistheid van de wiskundige berekeningen en de programma-implementatie.)
• Improve? (Verbetering?): Kan en moet het model worden verbeterd? Identificatie van parameters die verfijning vereisen, aannames die kunnen worden versoepeld, of niet-verdisconteerde aspecten die moeten worden toegevoegd voor grotere nauwkeurigheid of bredere toepasbaarheid.
• Use? (Gebruik?): Hoe worden de resultaten toegepast? Interpretatie van de voorspellingen en conclusies van het model voor besluitvorming, verwerving van nieuwe kennis, voorspelling, optimalisatie of regeling van het systeem.

Directe en inverse opgave van mathematisch modelleren

Traditieel worden twee hoofdklassen van opgaven onderscheiden die verband houden met wiskundige modellen:

• De directe opgave bestaat erin een model met een vooraf bepaalde structuur en bekende parameters te onderzoeken om informatie te verkrijgen over het gedrag van het object.
• De inverse opgave bestaat erin een specifiek model te kiezen of de parameters ervan te bepalen op basis van beschikbare experimentele of empirische gegevens.

Directe opgave

Het doel van de directe opgave is om op basis van de bekende eigenschappen van het systeem de vraag te beantwoorden over de reactie ervan op externe invloeden, of om de kenmerken ervan onder verschillende omstandigheden te bepalen. De belangrijkste aspecten van het doel van de directe opgave:

• Onderzoek van het gedrag van het object op basis van een gegeven wiskundig model met bekende structuur en parameters.
• Verkrijging van kwantitatieve of kwalitatieve systeemkenmerken: bijvoorbeeld bepaling van spanningen, temperatuurvelden, dynamische reacties op belastingen, enz.
• Voorspelling van de toestand van het object bij verschillende externe invloeden (belastingen, wijzigingen in omgevingsomstandigheden, gestuurde acties).
• Analyse van de stabiliteit en betrouwbaarheid van systemen, bepaling van hun grensregimes.
• Toetsing van hypothesen over het gedrag van het object die op basis van het model zijn geformuleerd.
• Optimalisatie van regelprocessen door berekening van de reacties van het model op stuursignalen.
• Beoordeling van de gevoeligheid van oplossingen voor wijzigingen in beginwaarden en modelparameters.

Inverse opgave

Het doel van de inverse opgave is de structuur van het model of de parameters ervan te bepalen op basis van beschikbare gegevens over het gedrag van het reële systeem.

De belangrijkste aspecten van het doel van de inverse opgave:

• Het vinden van onbekende modelparameters (bijvoorbeeld elasticiteitscoëfficiënten, warmtegeleidingscoëfficiënten, weerstandscoëfficiënten, enz.).
• Het bepalen van de verborgen structuur van processen op basis van waargenomen uitvoergegevens.
• Het opbouwen of bijstellen van een wiskundig model zodanig dat het gedrag ervan overeenkomt met experimentele of empirische gegevens.
• Het ontwikkelen van adequate methoden voor de verwerking en interpretatie van observatie- en experimentgegevens.

Verificatie en validatie

Na de opbouw van een wiskundig model en de verkrijging van de programma- of algoritmische implementatie ervan, is de beoordeling van de juistheid en toepasbaarheid ervan een cruciale stap. Hiervoor worden twee onderling samenhangende maar verschillende processen gebruikt: verificatie en validatie.

• Verificatie (Verification):
  • Vraag: Implementeren (bouwen) we het model correct?
  • Betekenis: Controle of de programma-implementatie of het rekenalgoritme van het model nauwkeurig overeenkomt met de wiskundige formulering en de conceptuele beschrijving ervan. Met andere woorden, verificatie bevestigt dat de vergelijkingen correct worden opgelost en dat het algoritme foutloos werkt volgens de ingebouwde logica.
  • Methoden: Analyse en controle van de code, testen op bekende analytische oplossingen (indien aanwezig), vergelijking met resultaten van andere beproefde programma's, controle van de numerieke stabiliteit en convergentie van algoritmen.
• Validatie (Validation):
  • Vraag: Hebben we het juiste model gebouwd?
  • Betekenis: Bepaling van de mate van overeenstemming van het model met het reële object, het proces of het verschijnsel dat het beoogt te beschrijven, in relatie tot de doelen van de modellering. Validatie beantwoordt de vraag hoe goed het model de voor ons relevante aspecten van de werkelijkheid weerspiegelt.
  • Methoden: Vergelijking van de modelleringsresultaten met experimentele gegevens, observatiegegevens van het reële systeem, statistische gegevens, bekende feiten of resultaten van andere reeds beproefde modellen. Beoordeling van de gevoeligheid van het model voor parameterwijzigingen.

Het belangrijkste verschil:

• Verificatie vergelijkt de implementatie van het model met de specificatie ervan (wiskundige beschrijving).
• Validatie vergelijkt het model (als geheel) met de werkelijkheid.

Men kan een wiskundig correct maar voor het reële proces inadequaat model hebben (geverifieerd, maar niet gevalideerd), of een model dat bedoeld is als adequaat maar met fouten is geïmplementeerd (niet geverifieerd).

De processen van verificatie en validatie zijn een onlosmakelijk onderdeel van het mathematisch modelleerproces. Zij bieden vertrouwen in de modelleringsresultaten en maken het mogelijk de grenzen van de toepasbaarheid van het model te beoordelen. Zonder deze processen kan het gebruik van het model voor voorspelling, optimalisatie of besluitvorming incorrect zijn.

Beperkingen en aannames

Elk wiskundig model is een abstractie — een doelgerichte vereenvoudiging van de onderzochte werkelijkheid. Het is gebaseerd op een reeks aannames en is, net als elke kaart, niet het gebied zelf, maar slechts een beschrijving ervan voor specifieke doeleinden. Dit brengt de volgende beperkingen met zich mee:

1. Onvolledigheid: Het model houdt alleen rekening met factoren en verbanden die essentieel zijn (vanuit het oogpunt van het onderzoeksdoel en de gemaakte aannames), en negeert bewust andere details ter vereenvoudiging van de analyse.
2. Afhankelijkheid van aannames: De juistheid, nauwkeurigheid en het toepassingsgebied van het model zijn rechtstreeks afhankelijk van de validiteit van de gemaakte aannames. Onjuiste of geschonden aannames leiden tot onnauwkeurige of onjuiste resultaten.
3. Beperkt toepassingsgebied: Het model beschrijft de werkelijkheid adequaat alleen onder bepaalde omstandigheden (die overeenkomen met de aannames) en voor de oplossing van de specifieke categorie opgaven waarvoor het is gemaakt en getest. Extrapolatie buiten deze grenzen is niet correct.
4. Fout: Als gevolg van vereenvoudigingen hebben de modelleringsresultaten altijd een zekere fout ten opzichte van het werkelijke gedrag van het object.
5. Noodzaak van validatie: Omdat het model een vereenvoudiging is, vereist de adequaatheid ervan altijd verificatie (validatie) op basis van werkelijke (experimentele of geobserveerde) gegevens.
6. Gevoeligheid: De modelleringsresultaten kunnen gevoelig zijn voor wijzigingen in invoergegevens, modelparameters en gemaakte aannames, wat vaak een gevoeligheidsanalyse vereist.

Toepassingsvoorbeelden

• In de natuurkunde: modellering van warmtegeleiding, hydrodynamica, elektromagnetische processen.
• In de ingenieurswetenschappen: berekening van constructiesterktes, optimalisatie van technologische processen.
• In de biologie: modellering van populatiedynamica en verspreiding van ziekten.
• In de economie: opbouw van macro-economische modellen en modellen voor optimale regeling.
• In de sociologie: modellering van migratieprocessen en sociale dynamiek.

Literatuur

• Inleiding tot mathematisch modelleren / Onder redactie van P.V. Trusov. — Moskou: Universitetskaya kniga, Logos, 2007.
• Mathematisch modelleren. Ideeën. Methoden. Voorbeelden. Moiseev N.N. — Moskou: Nauka, 1981.
• Mathematisch modelleren. Galanin M.P., Galanina E.M., Sergeev A.V., Shalaeva A.K. — Moskou: LKI, 2022.
• Principles of Mathematical Modeling Dym, C.L. (2004)

Verband met andere begrippen

• Wiskundig model
• Systeemmodel
• Modelleringsproces
• Formalisering van systeemmodellen
• Modelleren
• Operations research