Matematisk modellering

Matematisk modellering — är en forskningsmetod där ett verkligt objekt, process eller fenomen ersätts av sin matematiska modell, vilket möjliggör analys av systemets beteende med hjälp av matematiska metoder.

Matematisk modellerings väsen

Matematisk modellering innefattar:

• formalisering av väsentliga egenskaper hos det undersökta objektet;
• konstruktion av en matematisk modell som uttrycker sambanden mellan parametrar;
• undersökning av modellen med analytiska, numeriska eller simuleringsbaserade metoder;
• tolkning av resultaten i förhållande till det verkliga systemet.

En modell är alltid en förenkling av verkligheten och återspeglar målinriktat endast de aspekter av den som är viktiga för de uppsatta målen för forskning eller konstruktion.

Mål med matematisk modellering

Matematiska modeller utvecklas för att:

• beskriva systemens struktur, egenskaper och funktionssätt;
• förklara observerade fenomen genom identifiering av lagbundenheter;
• förutsäga systemens framtida beteende vid givna påverkningar;
• optimera processer och styrsystem;
• genomföra virtuella experiment som är otillgängliga eller oönskade i verkligheten.

Klassificering av matematiska modeller

• Efter beskrivningssätt: Deterministiska och stokastiska (sannolikhetsbaserade).
• Efter tidens karaktär: Statiska och dynamiska.
• Efter variablernas karaktär: Diskreta och kontinuerliga.
• Efter detaljeringsgrad: Makroskopiska, mikroskopiska, mesoskopiska.
• Efter använd apparat: Analytiska, numeriska, simuleringsbaserade.
• Efter syfte: Beskrivande, prognostiska, optimerande, simulerande.
• Efter struktur: Linjära och olinjära.
• Efter konstruktionsansats: Fenomenologiska (empiriska) och mekanistiska (teoretiska).

Steg i matematisk modellering

I det allmänna fallet är stegen i matematisk modellering följande:

1. Problemformulering:
   • Fastställande av modelleringens syfte (vad vill vi ta reda på eller åstadkomma?).
   • Beskrivning av objektet eller processen och dess gränser.
   • Identifiering av nyckelfaktorer och egenskaper som behöver beaktas.
2. Konstruktion (eller val) av modell:
   • Formalisering: Översättning av objektets beskrivning och samband till matematikens språk (ekvationer, funktioner, logiska regler, algoritmer osv.).
   • Introduktion av antaganden och förenklingar för att lyfta fram det väsentliga.
   • Fastställande av modellens parametrar och deras samband.
3. Undersökning av modellen:
   • Lösning av den matematiska uppgiften (analytiskt, numeriskt, via simulering).
   • Genomförande av beräkningsexperiment för att studera modellens beteende under olika förhållanden.
4. Kontroll av adekvans (validering) av modellen:
   • Jämförelse av modelleringsresultaten med verkliga data (experimentella, observerade) eller kända fakta.
   • Bedömning av hur väl modellen återspeglar verkligheten för det uppsatta syftet.
5. Tolkning och tillämpning av resultaten:
   • Analys av erhållna modelleringsdata.
   • Översättning av resultaten till ursprungsproblemets språk.
   • Formulering av slutsatser, prognoser, framtagning av rekommendationer eller beslutsfattande baserat på modellen.

Denna process är ofta iterativ. Otillfredsställande resultat från validering eller tolkning kan kräva återgång till tidigare steg (precisering av problemformuleringen, ändring av antaganden, modifiering av modellen).

Principiellt angreppssätt

Det principiella angreppssättet, baserat på Clive Dyms arbeten (Principles of Mathematical Modeling), föreslår att betrakta modellering som en sekvens av svar på nyckelfrågor:

• Why? (Varför?): Vilket behov finns av modellen? Det är nödvändigt att tydligt definiera syftet med modelleringen och det problem som modellen ska bidra till att lösa.
• Find? (Hitta?): Vad vill vi ta reda på? Vilka specifika utdata, egenskaper eller information ska modellen tillhandahålla för att uppnå syftet?
• Given? (Givet?): Vad vet vi? Vilken information, vilka data (experimentella, statistiska), vilka kunskaper om systemet och tillgängliga resurser finns redan?
• Assume? (Antaganden?): Vilka antaganden gör vi? Fastställande av förenklingar, idealiseringar, hypoteser om systemets beteende och gränser för modellens tillämplighet. Detta steg är kritiskt viktigt, eftersom det avgör modellens adekvans.
• How? (Hur?): Hur fungerar systemet? Identifiering av grundläggande lagar (fysikaliska, kemiska, biologiska, ekonomiska osv.), mekanismer och samband som styr modelleringsobjektets beteende.
• Predict? (Prognos?): Vad kommer modellen att förutsäga? Formulering av matematiska ekvationer, olikheter, logiska regler eller algoritmer som utgör modellens kärna, samt fastställande av de beräkningar som kommer att utföras.
• Valid? (Validitet?): I vilken utsträckning stämmer modellens förutsägelser överens med verkligheten? Jämförelse av modelleringsresultaten med verkliga data eller kända fakta för att kontrollera modellens adekvans i förhållande till de uppsatta målen.
• Verified? (Användbarhet/Kontroll?): Är modellen användbar för att uppnå det ursprungliga syftet (Why?)? Uppfyller de erhållna resultaten och modellens noggrannhet det ursprungliga behovet? (I detta steg kan även verifiering genomföras – kontroll av korrektheten hos de matematiska beräkningarna och den programmatiska implementeringen.)
• Improve? (Förbättring?): Kan och bör modellen förbättras? Identifiering av parametrar som kräver precisering, antaganden som kan lättas upp, eller obeaktade aspekter som behöver läggas till för ökad noggrannhet eller bredare tillämpning.
• Use? (Användning?): Hur tillämpas resultaten? Tolkning av modellens förutsägelser och slutsatser för beslutsfattande, inhämtande av ny kunskap, prognostisering, optimering eller styrning av systemet.

Direkta och inversa uppgifter inom matematisk modellering

Traditionellt urskiljs två huvudklasser av uppgifter kopplade till matematiska modeller:

• Den direkta uppgiften består i att undersöka modellen med en på förhand given struktur och kända parametrar för att erhålla information om objektets beteende.
• Den inversa uppgiften består i att välja en specifik modell eller bestämma dess parametrar utifrån tillgängliga experimentella eller empiriska data.

Den direkta uppgiften

Målet med den direkta uppgiften är att, utifrån kända egenskaper hos systemet, besvara frågan om dess reaktion på yttre påverkningar eller bestämma dess egenskaper under olika förhållanden. Huvudsakliga aspekter av den direkta uppgiftens mål:

• Undersökning av objektets beteende utifrån en given matematisk modell med känd struktur och kända parametrar.
• Erhållande av kvantitativa eller kvalitativa egenskaper hos systemet: till exempel bestämning av spänningar, temperaturfält, dynamiska reaktioner på laster m.m.
• Förutsägelse av objektets tillstånd vid olika yttre påverkningar (laster, förändringar i miljöförhållanden, styrda åtgärder).
• Analys av systemens stabilitet och tillförlitlighet, bestämning av deras gränsdriftslägen.
• Kontroll av hypoteser om objektets beteende, formulerade utifrån modellen.
• Optimering av styrprocesser genom beräkning av modellens reaktioner på styrpåverkningar.
• Bedömning av lösningarnas känslighet för förändringar i initialvillkor och modellparametrar.

Den inversa uppgiften

Målet med den inversa uppgiften är att bestämma modellens struktur eller parametrar utifrån tillgängliga data om det verkliga systemets beteende.

Huvudsakliga aspekter av den inversa uppgiftens mål:

• Hitta okända modellparametrar (till exempel elasticitetskoefficienter, värmeledningsförmåga, motstånd m.m.).
• Bestämma processernas dolda struktur utifrån observerade utdata.
• Konstruera eller korrigera den matematiska modellen så att dess beteende överensstämmer med experimentella eller empiriska data.
• Utveckla adekvata metoder för bearbetning och tolkning av observations- och experimentdata.

Verifiering och validering

Efter konstruktionen av den matematiska modellen och erhållandet av dess programmatiska eller algoritmiska implementering är ett kritiskt viktigt steg bedömningen av dess korrekthet och tillämplighet. För detta används två sammankopplade men olika processer: verifiering och validering.

• Verifiering (Verification):
  • Fråga: Implementerar (konstruerar) vi modellen på rätt sätt?
  • Innebörd: Kontroll av att modellens programmatiska implementering eller beräkningsalgoritm exakt motsvarar dess matematiska formulering och konceptuella beskrivning. Med andra ord säkerställer verifieringen att ekvationerna löses korrekt och att algoritmen fungerar felfritt enligt den inbyggda logiken.
  • Metoder: Analys och kontroll av koden, testning mot kända analytiska lösningar (om sådana finns), jämförelse med resultat från andra beprövade program, kontroll av algoritmernas numeriska stabilitet och konvergens.
• Validering (Validation):
  • Fråga: Har vi konstruerat rätt modell?
  • Innebörd: Fastställande av i vilken grad modellen överensstämmer med det verkliga objekt, den process eller det fenomen den är avsedd att beskriva, i förhållande till modelleringens syften. Valideringen besvarar frågan om hur väl modellen återspeglar de aspekter av verkligheten vi är intresserade av.
  • Metoder: Jämförelse av modelleringsresultaten med experimentella data, data från observationer av det verkliga systemet, statistiska data, kända fakta eller resultat från andra redan beprövade modeller. Bedömning av modellens känslighet för parameterförändringar.

Nyckelskillnad:

• Verifiering jämför modellens implementering med dess specifikation (matematisk beskrivning).
• Validering jämför modellen (som helhet) med verkligheten.

Man kan ha en matematiskt korrekt men för den verkliga processen oadekvatmodell (verifierad men inte validerad), eller en modell som är tänkt att vara adekvat men implementerad med fel (inte verifierad).

Processerna för verifiering och validering är en integrerad del av den matematiska modelleringsprocessen. De säkerställer förtroende för modelleringsresultaten och gör det möjligt att bedöma gränserna för modellens tillämplighet. Utan dem kan användningen av modellen för prognostisering, optimering eller beslutsfattande vara inkorrekt.

Begränsningar och antaganden

Varje matematisk modell är en abstraktion — en målinriktad förenkling av den undersökta verkligheten. Den grundar sig på ett antal antaganden och är, liksom varje karta, inte själva territoriet utan blott en beskrivning av det för specifika ändamål. Detta medför följande begränsningar:

1. Ofullständighet: Modellen beaktar endast de faktorer och samband som är väsentliga (ur forskningssyftets och de gjorda antagandenas perspektiv) och bortser medvetet från andra detaljer för att förenkla analysen.
2. Beroende av antaganden: Modellens korrekthet, noggrannhet och tillämpningsområde beror direkt på de gjorda antagandenas välgrundade karaktär. Felaktiga eller brutna antaganden leder till inexakta eller felaktiga resultat.
3. Begränsat tillämpningsområde: Modellen beskriver verkligheten adekvat endast under vissa förhållanden (motsvarande antagandena) och för lösning av den specifika krets av uppgifter för vilken den skapades och kontrollerades. Extrapolering utanför dessa ramar är inkorrekt.
4. Felaktighet: Till följd av förenklingar har modelleringsresultaten alltid en viss avvikelse jämfört med objektets verkliga beteende.
5. Nödvändigheten av validering: Eftersom modellen är en förenkling kräver dess adekvans alltid kontroll (validering) utifrån verkliga (experimentella eller observerade) data.
6. Känslighet: Modelleringsresultaten kan vara känsliga för förändringar i indata, modellparametrar och gjorda antaganden, vilket ofta kräver genomförande av känslighetsanalys.

Tillämpningsexempel

• Inom fysik: modellering av värmeledning, hydrodynamik, elektromagnetiska processer.
• Inom ingenjörsvetenskap: beräkning av konstruktioners hållfasthet, optimering av teknologiska processer.
• Inom biologi: modellering av populationsdynamik och spridning av sjukdomar.
• Inom ekonomi: konstruktion av makroekonomiska modeller och modeller för optimal styrning.
• Inom sociologi: modellering av migrationsprocesser och social dynamik.

Litteratur

• Введение в математическое моделирование / Под ред. П.В. Трусова. — М.: Университетская книга, Логос, 2007.
• Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Моисеев Н.Н. — М.: Наука, 1981.
• Математическое моделирование. Галанин М.П., Галанина Е.М., Сергеев А.В., Шалаева А.К. . — М.: ЛКИ, 2022.
• Principles of Mathematical Modeling Dym, C.L. (2004)

Koppling till andra begrepp

• Matematisk modell
• Systemmodell
• Modelleringsprocess
• Formalisering av systemmodeller
• Modellering
• Operationsanalys