Kryterium Walda

Kryterium Walda — jedna z podstawowych metod podejmowania decyzji w warunkach niepewności. Opiera się na zasadzie skrajnego pesymizmu i ukierunkowana jest na wybór strategii zapewniającej najlepszy wynik w najgorszym możliwym scenariuszu.

Istota kryterium

Kryterium zakłada, że osoba podejmująca decyzję kieruje się najbardziej niekorzystnym wynikiem dla każdej strategii. Dla każdej alternatywy wyznaczany jest jej najgorszy możliwy rezultat. Spośród wszystkich strategii wybierana jest ta, dla której ów najgorszy wynik jest najlepszy ze wszystkich.

Innymi słowy, kryterium Walda ukierunkowane jest na minimalizację maksymalnych strat i zapewnia największą ochronę przed niekorzystnymi warunkami.

Zastosowanie kryterium

Proces stosowania obejmuje następujące kroki:

1. Dla każdej strategii wyznaczany jest najgorszy możliwy wynik.
2. Porównywane są najgorsze wyniki wszystkich strategii.
3. Wybierana jest strategia z najlepszym spośród najgorszych wyników.

Podejście to charakterystyczne jest dla skrajnie ostrożnych osób, dążących do minimalizacji ryzyka niezależnie od prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych wyników.

Sformułowanie matematyczne

Niech dane będą:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — zbiór dostępnych strategii (alternatyw), spośród których wybiera osoba podejmująca decyzję (OPD).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — zbiór możliwych stanów natury (warunków zewnętrznych, scenariuszy), niezależnych od wyboru OPD.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funkcja wygranej (użyteczności), stanowiąca liczbową ocenę wyniku przy wyborze strategii $s_i\in S$ i wystąpieniu stanu natury ${\theta }_j\in \Theta$. Często przedstawiana jest w postaci macierzy wypłat $A=[a_{ij}]$, gdzie $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Kryterium Walda (lub kryterium maksyminu) nakazuje następujący porządek działań:

1. Wyznaczenie minimalnej wygranej dla każdej strategii: Dla każdej strategii $s_i$ wyznaczany jest jej najgorszy możliwy wynik (minimalna wygrana) po wszystkich możliwych stanach natury:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. Wybór strategii z maksymalną spośród minimalnych wygranych: Wybierana jest ta strategia $s_{\text{Wald}}^{\ast }$, która zapewnia największą wartość spośród wyznaczonych minimalnych wygranych:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Gwarantowany (minimalny) poziom wygranej przy zastosowaniu kryterium Walda wynosi: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

W ten sposób kryterium Walda realizuje zasadę maksyminu — maksymalizacji minimalnej wygranej. Ukierunkowane jest na pesymistyczne spojrzenie, zakładając, że niezależnie od podjętej decyzji natura odpowie w sposób najmniej korzystny dla OPD.

Uwaga dotycząca funkcji strat

Jeżeli zamiast funkcji wygranej $u(s_i,{\theta }_j)$ używana jest funkcja strat $L(s_i,{\theta }_j)$, którą należy minimalizować, kryterium Walda przekształca się w kryterium minimaksu strat:

1. Dla każdej strategii $s_i$ wyznaczana jest maksymalna wartość strat: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. Wybierana jest strategia minimalizująca te maksymalne straty: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

Zalety i wady

Zalety:

• Prostota i przejrzystość metody.
• Zapewnienie wysokiego stopnia bezpieczeństwa decyzji w warunkach całkowitej niepewności.

Wady:

• Nadmierny pesymizm: potencjalnie wysokie korzyści są ignorowane na rzecz minimalizacji strat.
• Może prowadzić do wyboru zbyt konserwatywnych strategii.