Kryterium Savage'a

Kryterium Savage'a (znane również jako kryterium minimalnego żalu) — jedna z metod podejmowania decyzji w warunkach niepewności. Stosuje się je w sytuacjach, gdy prawdopodobieństwa różnych wyników są nieznane, a celem jest minimalizacja potencjalnych strat wynikających z podjęcia nieoptymalnej decyzji.

Ogólna charakterystyka

W warunkach niepewności konsekwencje wyboru każdej strategii nie są określone dokładnie. Do oceny możliwych alternatyw stosuje się szereg kryteriów, takich jak kryteria Walda, Hurwicza, Laplace'a i Savage'a. Kryterium Savage'a nie jest zorientowane na osiągnięcie maksymalnego zysku, lecz na minimalizację maksymalnego żalu (strat w porównaniu z najlepszym możliwym wynikiem).

Żal — to wielkość odzwierciedlająca utracone korzyści wynikające z tego, że nie została wybrana optymalna strategia przy danym wyniku.

Algorytm stosowania kryterium Savage'a

• Budowa macierzy wypłat: Konstruuje się tabelę, w której wiersze odpowiadają możliwym strategiom, a kolumny — możliwym wynikom zdarzeń. Na przecięciu zapisuje się oczekiwany rezultat przy danej strategii i wyniku.
• Budowa macierzy żalu (macierzy ryzyka): Dla każdego wyniku (kolumny) wyznacza się maksymalną wartość wygranej. Następnie dla każdej komórki oblicza się wartość żalu:
• Wyznaczenie maksymalnych żalów dla każdej strategii: W każdym wierszu macierzy żalu wybiera się wartość maksymalną (najgorszy przypadek dla danej strategii).
• Wybór optymalnej strategii: Wybiera się tę strategię, dla której maksymalny żal jest minimalny.

W ten sposób kryterium Savage'a realizuje zasadę minimalizacji możliwej straty wynikającej z błędnej decyzji.

Sformułowanie matematyczne

Niech dane są:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — zbiór dostępnych strategii (alternatyw).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — zbiór możliwych stanów natury.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funkcja wygranej (użyteczności) przy wyborze strategii $s_i$ i nastąpieniu stanu ${\theta }_j$. Często reprezentowana jest macierzą wypłat $A=[a_{ij}]$, gdzie $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Kryterium Savage'a opiera się na pojęciu żalu (regret) lub utraconych korzyści. Żal $r(s_i,{\theta }_j)$ dla strategii $s_i$ przy stanie natury ${\theta }_j$ definiuje się jako różnicę między maksymalną możliwą wygraną, jaką można było uzyskać przy danym stanie natury ${\theta }_j$ (gdyby została wybrana najlepsza dla tego stanu strategia), a rzeczywistą wygraną ze strategii $s_i$.

Algorytm stosowania kryterium Savage'a:

1. Obliczenie macierzy żalu (ryzyka):

   a) Znaleźć maksymalną wygraną dla każdego stanu natury (każdej kolumny macierzy wypłat):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Jest to najlepszy możliwy wynik, jeśli nastąpi stan ${\theta }_j$.

   b) Obliczyć elementy macierzy żalu $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   Element $r_{ij}$ pokazuje, o ile wygrana ze strategii $s_i$ jest mniejsza od maksymalnej możliwej przy stanie ${\theta }_j$. Wszystkie elementy $r_{ij}\ge 0$.

1. Wyznaczenie maksymalnego żalu dla każdej strategii: Dla każdej strategii $s_i$ (każdego wiersza macierzy żalu $R$) wyznacza się jej najgorszy możliwy wynik z punktu widzenia żalu:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Wybór strategii z minimalnym maksymalnym żalem (zasada minimaksu żalów): Wybiera się tę strategię $s_{\text{Savage}}^{\ast }$, która minimalizuje wyznaczony maksymalny żal:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Lub, podstawiając wyrażenie dla $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Minimalna wartość maksymalnego żalu, osiągana przy zastosowaniu kryterium Savage'a, wynosi: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

W ten sposób kryterium Savage'a ukierunkowane jest na wybór strategii, która gwarantuje najmniejsze straty względem najlepszego możliwego działania dla każdego stanu natury.

Kluczowe elementy sformułowania matematycznego:

• Definicja żalu $r_{ij}$: To pojęcie centralne. Ważne jest pokazanie, że oblicza się go jako różnicę między najlepszym wynikiem w kolumnie j a bieżącym wynikiem a_{ij}.
• Macierz żalu $R$: Jawnie wskazano sposób jej budowy.
• Wyznaczanie $r_i^{max}$: Pokazano wyszukiwanie maksimum w każdym wierszu macierzy żalu.
• Zasada minimaksu: Wyraźnie sformułowano wybór strategii przez $\arg min$ z $max$ żalów.
• Stosowane oznaczenia: Standardowe dla teorii gier i teorii decyzji (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Zalety i wady

Zalety:

• Zorientowany na minimalizację ryzyka.
• Szczególnie skuteczny w warunkach wysokiej niepewności.

Wady:

• Ignoruje oczekiwany zysk, koncentrując się wyłącznie na możliwych stratach.
• Może prowadzić do nadmiernie konserwatywnych decyzji.

Kryteria podejmowania decyzji

• Kryterium Hurwicza
• Kryterium Laplace'a
• Kryterium Walda