Kryterium Hurwicza

Kryterium Hurwicza — jedna z metod podejmowania decyzji w warunkach niepewności, która proponuje zrównoważone podejście między skrajnym optymizmem a skrajnym pesymizmem.

Istota kryterium

Przy wyborze strategii w sytuacji, gdy wynik zdarzeń jest nieznany, kryterium Hurwicza proponuje uwzględnienie jednocześnie:

• najgorszego możliwego wyniku (podejście pesymistyczne),
• najlepszego możliwego wyniku (podejście optymistyczne).

W tym celu stosowany jest specjalny parametr — współczynnik optymizmu, który przyjmuje wartość od zera do jedności. Im bliżej współczynnik jest jedności, tym większa uwaga poświęcana jest najlepszym wynikom; im bliżej zera, tym bardziej uwzględniane są najgorsze możliwe wyniki.

Sformułowanie matematyczne

Niech dane będą:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — zbiór dostępnych strategii (alternatyw).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — zbiór możliwych stanów natury.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funkcja wygranej (użyteczności) przy wyborze strategii $s_i$ i nastąpieniu stanu ${\theta }_j$. Często reprezentowana jest macierzą wypłat $A=[a_{ij}]$, gdzie $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Kryterium Hurwicza wprowadza współczynnik optymizmu $\alpha$ (alfa), który wybierany jest przez osobę podejmującą decyzję (OPD) w przedziale $0\le \alpha \le 1$. Współczynnik ten odzwierciedla stopień optymizmu OPD:

• $\alpha =1$ odpowiada pełnemu optymizmowi (uwzględniany jest tylko najlepszy możliwy wynik).
• $\alpha =0$ odpowiada pełnemu pesymizmowi (uwzględniany jest tylko najgorszy możliwy wynik; kryterium sprowadza się do kryterium Walda).
• Wartość $(1-\alpha )$ można interpretować jako współczynnik pesymizmu.

Procedura stosowania kryterium Hurwicza:

1. Wyznaczenie minimalnej i maksymalnej wygranej dla każdej strategii: Dla każdej strategii $s_i\in S$ wyznaczane są:

   **Najgorszy wynik (minimalna wygrana):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **Najlepszy wynik (maksymalna wygrana):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. Obliczenie wartości kryterium Hurwicza dla każdej strategii: Dla każdej strategii $s_i$ obliczana jest wartość ważona, łącząca najlepszy i najgorszy wynik z uwzględnieniem współczynnika optymizmu $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Wartość ta reprezentuje oczekiwaną wygraną strategii $s_i$ zgodnie z preferencjami OPD wyrażonymi przez $\alpha$.

1. Wybór optymalnej strategii: Wybierana jest ta strategia $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$, która maksymalizuje obliczoną wartość kryterium Hurwicza:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

Optymalna wartość kryterium Hurwicza (poziom gwarantowany z uwzględnieniem optymizmu $\alpha$) wynosi: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Uwaga dotycząca funkcji strat

Jeżeli stosowana jest funkcja strat $L(s_i,{\theta }_j)$, którą należy minimalizować, to kryterium Hurwicza stosuje się do minimalizacji ważonej kombinacji najlepszego (minimalne straty) i najgorszego (maksymalne straty) wyniku:

1. Dla każdej strategii $s_i$ wyznaczane są minimalne $L_i^{min}$ i maksymalne $L_i^{max}$ straty.
2. Obliczana jest wartość: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. Wybierana jest strategia minimalizująca tę wartość: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Tutaj $\alpha$ nadal jest współczynnikiem optymizmu: przy $\alpha =1$ OPD koncentruje się na minimalizacji minimalnych strat (optymistycznie liczy na najlepszy wynik), przy $\alpha =0$ — na minimalizacji maksymalnych strat (pesymistycznie przygotowuje się na najgorszy scenariusz).

Zastosowanie kryterium

Proces stosowania kryterium Hurwicza obejmuje następujące kroki:

1. Wyznaczane są minimalny i maksymalny wynik dla każdej możliwej strategii.
2. Dla każdej strategii obliczana jest ocena końcowa, stanowiąca wartość ważoną między jej najgorszym a najlepszym wynikiem, w zależności od wybranego poziomu optymizmu.
3. Wybierana jest ta strategia, której ocena końcowa jest największa.

W ten sposób osoba podejmująca decyzję wybiera strategię, która najlepiej uwzględnia jej własny stosunek do ryzyka i niepewności.

Zalety i wady

Zalety:

• Pozwala dostosować proces wyboru do charakteru i preferencji osoby podejmującej decyzję.
• Uwzględnia zarówno ryzyko, jak i potencjalne korzyści.

Wady:

• Wymaga subiektywnego wyboru współczynnika optymizmu, co może wpłynąć na obiektywność decyzji.