Kriteria Savage

Kriteria Savage (juga dikenal sebagai kriteria penyesalan minimum) — salah satu metode pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian. Kriteria ini diterapkan dalam situasi ketika probabilitas berbagai hasil tidak diketahui, dan tujuannya adalah meminimalkan potensi kerugian akibat pengambilan keputusan yang tidak optimal.

Karakteristik Umum

Dalam kondisi ketidakpastian, konsekuensi dari pemilihan setiap strategi tidak dapat ditentukan secara pasti. Untuk mengevaluasi alternatif yang mungkin, digunakan sejumlah kriteria, seperti kriteria Wald, Hurwicz, Laplace, dan Savage. Kriteria Savage tidak berorientasi pada pencapaian keuntungan maksimal, melainkan pada minimisasi penyesalan maksimum (kerugian dibandingkan dengan hasil terbaik yang mungkin dicapai).

Penyesalan — adalah besaran yang mencerminkan keuntungan yang terlewatkan karena strategi yang dipilih bukan merupakan strategi optimal untuk suatu hasil tertentu.

Algoritma Penerapan Kriteria Savage

• Pembentukan matriks pembayaran: Dibuat tabel yang baris-barisnya bersesuaian dengan strategi yang mungkin, sedangkan kolom-kolomnya bersesuaian dengan kemungkinan hasil kejadian. Pada perpotongannya dicatat hasil yang diharapkan untuk strategi dan hasil tertentu.
• Pembangunan matriks penyesalan (matriks risiko): Untuk setiap hasil (kolom) ditentukan nilai keuntungan maksimum. Kemudian untuk setiap sel dihitung besaran penyesalan:
• Penentuan penyesalan maksimum untuk setiap strategi: Pada setiap baris matriks penyesalan dipilih nilai maksimum (kasus terburuk untuk strategi yang bersangkutan).
• Pemilihan strategi optimal: Dipilih strategi yang memiliki penyesalan maksimum paling kecil.

Dengan demikian, kriteria Savage mengimplementasikan prinsip minimisasi kemungkinan kerugian akibat keputusan yang salah.

Formulasi Matematis

Misalkan diberikan:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — himpunan strategi (alternatif) yang tersedia.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — himpunan kemungkinan keadaan alam.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — fungsi keuntungan (utilitas) saat memilih strategi $s_i$ dan keadaan ${\theta }_j$ terjadi. Sering direpresentasikan sebagai matriks pembayaran $A=[a_{ij}]$, di mana $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Kriteria Savage didasarkan pada konsep penyesalan (regret) atau keuntungan yang terlewatkan. Penyesalan $r(s_i,{\theta }_j)$ untuk strategi $s_i$ pada keadaan alam ${\theta }_j$ didefinisikan sebagai selisih antara keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh pada keadaan alam ${\theta }_j$ (jika strategi terbaik untuk keadaan tersebut telah dipilih) dan keuntungan aktual dari strategi $s_i$.

Algoritma penerapan kriteria Savage:

1. Perhitungan matriks penyesalan (risiko):

   a) Mencari keuntungan maksimum untuk setiap keadaan alam (setiap kolom matriks pembayaran):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Ini adalah hasil terbaik yang mungkin jika keadaan ${\theta }_j$ terjadi.

   b) Menghitung elemen-elemen matriks penyesalan $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   Elemen $r_{ij}$ menunjukkan seberapa besar keuntungan dari strategi $s_i$ lebih kecil dari keuntungan maksimum yang mungkin pada keadaan ${\theta }_j$. Semua elemen $r_{ij}\ge 0$.

1. Menemukan penyesalan maksimum untuk setiap strategi: Untuk setiap strategi $s_i$ (setiap baris matriks penyesalan $R$) ditentukan hasil terburuknya dari sudut pandang penyesalan:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Pemilihan strategi dengan penyesalan maksimum minimum (prinsip minimax penyesalan): Dipilih strategi $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ yang meminimalkan penyesalan maksimum yang ditemukan:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Atau, dengan mensubstitusikan ekspresi untuk $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Nilai minimum dari penyesalan maksimum yang dicapai dengan menggunakan kriteria Savage adalah: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Dengan demikian, kriteria Savage diarahkan pada pemilihan strategi yang menjamin kerugian terkecil relatif terhadap tindakan terbaik yang mungkin untuk setiap keadaan alam.

Poin-poin kunci dalam formulasi matematis:

• Definisi penyesalan $r_{ij}$: Ini adalah konsep sentral. Penting untuk menunjukkan bahwa penyesalan dihitung sebagai selisih antara hasil terbaik dalam kolom j dan hasil saat ini a_{ij}.
• Matriks penyesalan $R$: Ditunjukkan secara eksplisit cara pembentukannya.
• Pencarian $r_i^{max}$: Ditunjukkan pencarian nilai maksimum pada setiap baris matriks penyesalan.
• Prinsip minimax: Pemilihan strategi dirumuskan dengan jelas melalui $\arg min$ dari $max$ penyesalan.
• Notasi yang digunakan: Standar untuk teori permainan dan pengambilan keputusan (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Kelebihan dan Kekurangan

Keunggulan:

• Berorientasi pada minimisasi risiko.
• Sangat efektif dalam kondisi ketidakpastian yang tinggi.

Kekurangan:

• Mengabaikan keuntungan yang diharapkan, dengan hanya berfokus pada kemungkinan kerugian.
• Dapat menghasilkan keputusan yang terlalu konservatif.

Kriteria Pengambilan Keputusan

• Kriteria Hurwicz
• Kriteria Laplace
• Kriteria Wald