Hurwicz criterion — 허위치 기준

허비츠 기준은 불확실성 조건에서의 의사결정 방법 중 하나로, 극단적 낙관주의와 극단적 비관주의 사이의 균형 잡힌 접근법을 제안합니다.

기준의 본질

사건의 결과를 알 수 없는 상황에서 전략을 선택할 때, 허비츠 기준은 다음을 동시에 고려할 것을 제안합니다:

• 최악의 가능한 결과 (비관적 접근),
• 최선의 가능한 결과 (낙관적 접근).

이를 위해 특수한 매개변수인 낙관주의 계수가 사용되며, 이 값은 0에서 1 사이입니다. 계수가 1에 가까울수록 최선의 결과에 더 많은 주의를 기울이고, 0에 가까울수록 최악의 가능한 결과를 더 많이 고려합니다.

수학적 정식화

다음이 주어진다고 가정합니다:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — 가용 전략(대안)의 집합.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — 가능한 자연 상태의 집합.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — 전략 $s_i$를 선택하고 상태 ${\theta }_j$가 발생할 때의 보수(효용) 함수. 흔히 보수 행렬 $A=[a_{ij}]$로 표현되며, 여기서 $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

허비츠 기준은 의사결정자(DM)가 $0\le \alpha \le 1$ 범위 내에서 선택하는 낙관주의 계수 $\alpha$(알파)를 도입합니다. 이 계수는 의사결정자의 낙관주의 정도를 반영합니다:

• $\alpha =1$은 완전한 낙관주의에 해당합니다(최선의 가능한 결과만 고려).
• $\alpha =0$은 완전한 비관주의에 해당합니다(최악의 가능한 결과만 고려하며, 기준은 왈드 기준으로 귀결됨).
• 값 $(1-\alpha )$는 비관주의 계수로 해석할 수 있습니다.

허비츠 기준 적용 절차:

1. 각 전략에 대한 최솟값 및 최댓값 보수 산출: 각 전략 $s_i\in S$에 대해 다음을 정의합니다:

   **최악의 결과(최솟값 보수):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **최선의 결과(최댓값 보수):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. 각 전략에 대한 허비츠 기준값 계산: 각 전략 $s_i$에 대해 낙관주의 계수 $\alpha$를 적용하여 최선 및 최악의 결과를 결합한 가중 값을 계산합니다:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   이 값은 $\alpha$으로 표현된 의사결정자의 선호에 따른 전략 $s_i$의 기대 보수를 나타냅니다.

1. 최적 전략 선택: 계산된 허비츠 기준값을 최대화하는 전략 $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$을 선택합니다:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

허비츠 기준의 최적값(낙관주의 $\alpha$를 고려한 보장 수준)은 다음과 같습니다: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

손실 함수에 관한 비고

최소화가 필요한 손실 함수 $L(s_i,{\theta }_j)$를 사용하는 경우, 허비츠 기준은 최선(최소 손실)과 최악(최대 손실) 결과의 가중 조합을 최소화하는 데 적용됩니다:

1. 각 전략 $s_i$에 대해 최소 손실 $L_i^{min}$과 최대 손실 $L_i^{max}$을 구합니다.
2. 다음 값을 계산합니다: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. 이 값을 최소화하는 전략을 선택합니다: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

여기서 $\alpha$은 여전히 낙관주의 계수입니다: $\alpha =1$일 때 의사결정자는 최소 손실의 최소화에 집중하고(최선의 결과를 낙관적으로 기대), $\alpha =0$일 때는 최대 손실의 최소화에 집중합니다(최악의 경우에 비관적으로 대비).

기준의 적용

허비츠 기준 적용 과정은 다음 단계를 포함합니다:

1. 각 가능한 전략에 대해 최소 및 최대 결과를 결정합니다.
2. 선택된 낙관주의 수준에 따라 각 전략의 최악 및 최선 결과 사이의 가중값인 최종 점수를 계산합니다.
3. 최종 점수가 가장 높은 전략을 선택합니다.

이와 같이 의사결정자는 위험과 불확실성에 대한 자신의 태도를 가장 잘 반영하는 전략을 선택하게 됩니다.

장단점

장점:

• 의사결정자의 성향과 선호에 따라 선택 과정을 조정할 수 있습니다.
• 위험과 잠재적 이익을 모두 고려합니다.

단점:

• 낙관주의 계수의 주관적 선택이 필요하며, 이는 결정의 객관성에 영향을 미칠 수 있습니다.