Hurwicz criterion — হারউইজ মানদণ্ড

গুরভিৎজ মানদণ্ড — অনিশ্চয়তার পরিস্থিতিতে সিদ্ধান্ত গ্রহণের একটি পদ্ধতি, যা চরম আশাবাদ এবং চরম হতাশাবাদের মধ্যে একটি ভারসাম্যপূর্ণ দৃষ্টিভঙ্গি প্রস্তাব করে।

মানদণ্ডের সারমর্ম

যখন ঘটনার ফলাফল অজানা, তখন কৌশল বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে গুরভিৎজ মানদণ্ড একসাথে বিবেচনার প্রস্তাব দেয়:

• সবচেয়ে খারাপ সম্ভাব্য ফলাফল (হতাশাবাদী দৃষ্টিভঙ্গি),
• সবচেয়ে ভালো সম্ভাব্য ফলাফল (আশাবাদী দৃষ্টিভঙ্গি)।

এর জন্য একটি বিশেষ প্যারামিটার ব্যবহার করা হয় — আশাবাদের সহগ, যা শূন্য থেকে এককের মধ্যে মান নেয়। সহগটি যত এককের কাছাকাছি, সর্বোত্তম ফলাফলের প্রতি তত বেশি মনোযোগ দেওয়া হয়; এটি যত শূন্যের কাছাকাছি, সবচেয়ে খারাপ সম্ভাব্য ফলাফলগুলি তত বেশি বিবেচনায় নেওয়া হয়।

গাণিতিক প্রণয়ন

ধরা যাক:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — উপলব্ধ কৌশলগুলির (বিকল্পগুলির) সমষ্টি।
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — প্রকৃতির সম্ভাব্য অবস্থাগুলির সমষ্টি।
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — কৌশল $s_i$ বেছে নেওয়া এবং অবস্থা ${\theta }_j$ ঘটার সময় লাভের (উপযোগিতার) ফাংশন। প্রায়ই পেঅফ ম্যাট্রিক্স $A=[a_{ij}]$ হিসেবে উপস্থাপিত হয়, যেখানে $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$।

গুরভিৎজ মানদণ্ড আশাবাদের সহগ $\alpha$ (আলফা) প্রবর্তন করে, যা সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী ব্যক্তি (সিগ্রব) $0\le \alpha \le 1$ পরিসরে বেছে নেন। এই সহগটি সিগ্রব-এর আশাবাদের মাত্রা প্রতিফলিত করে:

• $\alpha =1$ সম্পূর্ণ আশাবাদের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (শুধুমাত্র সর্বোত্তম সম্ভাব্য ফলাফল বিবেচনায় নেওয়া হয়)।
• $\alpha =0$ সম্পূর্ণ হতাশাবাদের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (শুধুমাত্র সবচেয়ে খারাপ সম্ভাব্য ফলাফল বিবেচনায় নেওয়া হয়, মানদণ্ডটি ওয়াল্ড মানদণ্ডে পরিণত হয়)।
• $(1-\alpha )$ মানকে হতাশাবাদের সহগ হিসেবে ব্যাখ্যা করা যায়।

গুরভিৎজ মানদণ্ড প্রয়োগের পদ্ধতি:

1. প্রতিটি কৌশলের জন্য সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ লাভ নির্ণয়: প্রতিটি কৌশল $s_i\in S$-এর জন্য নির্ধারণ করা হয়:

   **সবচেয়ে খারাপ ফলাফল (সর্বনিম্ন লাভ):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **সর্বোত্তম ফলাফল (সর্বোচ্চ লাভ):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. প্রতিটি কৌশলের জন্য গুরভিৎজ মানদণ্ডের মান গণনা: প্রতিটি কৌশল $s_i$-এর জন্য আশাবাদের সহগ $\alpha$ বিবেচনায় সর্বোত্তম ও সবচেয়ে খারাপ ফলাফলের সমন্বয়কারী একটি ভারিত মান গণনা করা হয়:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   এই মানটি $\alpha$-এর মাধ্যমে প্রকাশিত সিগ্রব-এর পছন্দ অনুযায়ী কৌশল $s_i$-এর প্রত্যাশিত লাভ প্রতিনিধিত্ব করে।

1. সর্বোত্তম কৌশল বেছে নেওয়া: সেই কৌশল $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ বেছে নেওয়া হয় যা গুরভিৎজ মানদণ্ডের গণনাকৃত মানকে সর্বোচ্চ করে:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

গুরভিৎজ মানদণ্ডের সর্বোত্তম মান (আশাবাদ $\alpha$ বিবেচনায় নিশ্চিত স্তর) সমান: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

ক্ষতি ফাংশন সম্পর্কে মন্তব্য

যদি ক্ষতি ফাংশন $L(s_i,{\theta }_j)$ ব্যবহার করা হয়, যা ন্যূনতম করতে হবে, তাহলে গুরভিৎজ মানদণ্ড সর্বোত্তম (ন্যূনতম ক্ষতি) এবং সবচেয়ে খারাপ (সর্বোচ্চ ক্ষতি) ফলাফলের ভারিত সমন্বয় ন্যূনতম করতে প্রয়োগ করা হয়:

1. প্রতিটি কৌশল $s_i$-এর জন্য ন্যূনতম $L_i^{min}$ ও সর্বোচ্চ $L_i^{max}$ ক্ষতি নির্ধারণ করা হয়।
2. মানটি গণনা করা হয়: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. এই মানকে ন্যূনতম করে এমন কৌশল বেছে নেওয়া হয়: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

এখানে $\alpha$ পূর্বের মতোই আশাবাদের সহগ: $\alpha =1$-তে সিগ্রব ন্যূনতম ক্ষতি ন্যূনতম করার দিকে মনোযোগ দেন (সর্বোত্তম ফলাফলের আশাবাদী প্রত্যাশা), $\alpha =0$-তে — সর্বোচ্চ ক্ষতি ন্যূনতম করার দিকে (হতাশাবাদীভাবে সবচেয়ে খারাপের জন্য প্রস্তুত)।

মানদণ্ডের প্রয়োগ

গুরভিৎজ মানদণ্ড প্রয়োগের প্রক্রিয়ায় নিম্নলিখিত ধাপগুলি অন্তর্ভুক্ত:

1. প্রতিটি সম্ভাব্য কৌশলের জন্য সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ ফলাফল নির্ধারণ করা হয়।
2. প্রতিটি কৌশলের জন্য একটি চূড়ান্ত মূল্যায়ন গণনা করা হয়, যা নির্বাচিত আশাবাদের স্তরের উপর নির্ভর করে সবচেয়ে খারাপ ও সর্বোত্তম ফলাফলের মধ্যে একটি ভারিত মান।
3. সেই কৌশল বেছে নেওয়া হয় যার চূড়ান্ত মূল্যায়ন সর্বোচ্চ।

এভাবে সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী ব্যক্তি সেই কৌশল বেছে নেন যা তার নিজস্ব ঝুঁকি ও অনিশ্চয়তার প্রতি মনোভাবকে সর্বোত্তমভাবে বিবেচনায় নেয়।

সুবিধা ও অসুবিধা

সুবিধাসমূহ:

• সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী ব্যক্তির চরিত্র ও পছন্দ অনুযায়ী বাছাই প্রক্রিয়াকে অভিযোজিত করতে দেয়।
• ঝুঁকি এবং সম্ভাব্য সুবিধা উভয়ই বিবেচনায় নেয়।

অসুবিধাসমূহ:

• আশাবাদের সহগের বিষয়গত নির্বাচন প্রয়োজন, যা সিদ্ধান্তের বস্তুনিষ্ঠতাকে প্রভাবিত করতে পারে।