Hurwicz criterion — ہروئز معیار

ہروِٹز کا معیار — غیر یقینی صورتحال میں فیصلہ سازی کے طریقوں میں سے ایک ہے، جو انتہائی رجائیت اور انتہائی قنوطیت کے درمیان ایک متوازن نقطہ نظر پیش کرتا ہے۔

معیار کا جوہر

جب کسی ایسی صورتحال میں حکمت عملی کا انتخاب کیا جائے جہاں واقعات کا نتیجہ معلوم نہ ہو، تو ہروِٹز کا معیار بیک وقت درج ذیل باتوں کو مدنظر رکھنے کی تجویز دیتا ہے:

• بدترین ممکنہ نتیجہ (قنوطیانہ نقطہ نظر)،
• بہترین ممکنہ نتیجہ (رجائیانہ نقطہ نظر)۔

اس کے لیے ایک خاص پیرامیٹر استعمال کیا جاتا ہے — رجائیت کا گتانک، جو صفر سے ایک تک کی قدر اختیار کرتا ہے۔ گتانک جتنا ایک کے قریب ہو، بہترین نتائج پر اتنا ہی زیادہ توجہ دی جاتی ہے؛ اور جتنا وہ صفر کے قریب ہو، اتنا ہی زیادہ بدترین ممکنہ نتائج کو مدنظر رکھا جاتا ہے۔

ریاضیاتی فارمولیشن

فرض کیجیے کہ درج ذیل دیے گئے ہیں:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — دستیاب حکمت عملیوں (متبادلات) کا مجموعہ۔
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — فطرت کی ممکنہ حالتوں کا مجموعہ۔
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — حکمت عملی $s_i$ کے انتخاب اور حالت ${\theta }_j$ کے پیش آنے پر فائدے (افادیت) کا فنکشن۔ اسے اکثر ادائیگی میٹرکس $A=[a_{ij}]$ کی شکل میں پیش کیا جاتا ہے، جہاں $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$۔

ہروِٹز کا معیار رجائیت کا گتانک $\alpha$ (الفا) متعارف کراتا ہے، جسے فیصلہ کنندہ (ل.پ.ر.) $0\le \alpha \le 1$ کی حد میں خود منتخب کرتا ہے۔ یہ گتانک فیصلہ کنندہ کی رجائیت کی ڈگری کی عکاسی کرتا ہے:

• $\alpha =1$ مکمل رجائیت کے مطابق ہے (صرف بہترین ممکنہ نتیجے کو مدنظر رکھا جاتا ہے)۔
• $\alpha =0$ مکمل قنوطیت کے مطابق ہے (صرف بدترین ممکنہ نتیجے کو مدنظر رکھا جاتا ہے، معیار والڈ کے معیار تک محدود ہو جاتا ہے)۔
• قدر $(1-\alpha )$ کو قنوطیت کے گتانک کے طور پر تعبیر کیا جا سکتا ہے۔

ہروِٹز کے معیار کے اطلاق کا طریقہ کار:

1. ہر حکمت عملی کے لیے کم از کم اور زیادہ سے زیادہ فائدے کا تعین: ہر حکمت عملی $s_i\in S$ کے لیے درج ذیل متعین کیے جاتے ہیں:

   **بدترین نتیجہ (کم از کم فائدہ):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **بہترین نتیجہ (زیادہ سے زیادہ فائدہ):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. ہر حکمت عملی کے لیے ہروِٹز معیار کی قدر کا حساب: ہر حکمت عملی $s_i$ کے لیے ایک وزنی قدر شمار کی جاتی ہے، جو رجائیت کے گتانک $\alpha$ کو مدنظر رکھتے ہوئے بہترین اور بدترین نتائج کو یکجا کرتی ہے:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   یہ قدر $\alpha$ کے ذریعے ظاہر کی گئی فیصلہ کنندہ کی ترجیحات کے مطابق حکمت عملی $s_i$ کے متوقع فائدے کی نمائندگی کرتی ہے۔

1. بہترین حکمت عملی کا انتخاب: وہ حکمت عملی $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ منتخب کی جاتی ہے جو ہروِٹز معیار کی شمار شدہ قدر کو زیادہ سے زیادہ کرے:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

ہروِٹز معیار کی زیادہ سے زیادہ قدر (رجائیت $\alpha$ کو مدنظر رکھتے ہوئے ضمانت یافتہ سطح) برابر ہے: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

نقصان کے فنکشن کے بارے میں نوٹ

اگر نقصان کا فنکشن $L(s_i,{\theta }_j)$ استعمال کیا جائے، جسے کم از کم کرنا ہو، تو ہروِٹز کا معیار بہترین (کم از کم نقصان) اور بدترین (زیادہ سے زیادہ نقصان) نتائج کے وزنی مجموعے کو کم سے کم کرنے کے لیے لاگو کیا جاتا ہے:

1. ہر حکمت عملی $s_i$ کے لیے کم از کم $L_i^{min}$ اور زیادہ سے زیادہ $L_i^{max}$ نقصان معلوم کیا جاتا ہے۔
2. قدر شمار کی جاتی ہے: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. وہ حکمت عملی منتخب کی جاتی ہے جو اس قدر کو کم سے کم کرے: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

یہاں $\alpha$ بدستور رجائیت کا گتانک ہے: جب $\alpha =1$ ہو تو فیصلہ کنندہ کم از کم نقصانات کو کم سے کم کرنے پر توجہ مرکوز کرتا ہے (بہترین نتیجے کی رجائیانہ امید)، اور جب $\alpha =0$ ہو تو زیادہ سے زیادہ نقصانات کو کم سے کم کرنے پر (بدترین کے لیے قنوطیانہ تیاری)۔

معیار کا اطلاق

ہروِٹز کے معیار کے اطلاق کے عمل میں درج ذیل مراحل شامل ہیں:

1. ہر ممکنہ حکمت عملی کے لیے کم از کم اور زیادہ سے زیادہ نتائج متعین کیے جاتے ہیں۔
2. ہر حکمت عملی کے لیے ایک حتمی تخمینہ شمار کیا جاتا ہے، جو منتخب کردہ رجائیت کی سطح کے مطابق اس کے بدترین اور بہترین نتائج کے درمیان وزنی قدر ہوتی ہے۔
3. وہ حکمت عملی منتخب کی جاتی ہے جس کا حتمی تخمینہ سب سے زیادہ ہو۔

اس طرح فیصلہ کنندہ وہ حکمت عملی منتخب کرتا ہے جو خطرے اور غیر یقینی صورتحال کے بارے میں اس کے اپنے رویے کو بہترین انداز میں مدنظر رکھے۔

فوائد اور نقصانات

فوائد:

• فیصلہ کنندہ کی نوعیت اور ترجیحات کے مطابق انتخاب کے عمل کو ڈھالنے کی اجازت دیتا ہے۔
• خطرے اور ممکنہ فوائد دونوں کو مدنظر رکھتا ہے۔

نقصانات:

• رجائیت کے گتانک کے ذاتی انتخاب کی ضرورت ہوتی ہے، جو فیصلے کی معروضیت پر اثر انداز ہو سکتا ہے۔