Hurwicz criterion — معيار هورفيتز

معيار هورفيتز (Hurwicz's Criterion) هو إحدى طرق اتخاذ القرار في ظروف عدم اليقين، والتي تقترح نهجًا متوازنًا بين التفاؤل المتطرف والتشاؤم المتطرف.

جوهر المعيار

عند اختيار استراتيجية في موقف يكون فيه مآل الأحداث غير معروف، يقترح معيار هورفيتز الأخذ في الاعتبار بشكل متزامن ما يلي:

• أسوأ نتيجة ممكنة (النهج التشاؤمي)،
• أفضل نتيجة ممكنة (النهج التفاؤلي).

لهذا الغرض، يُستخدم معامل خاص — معامل التفاؤل، الذي يأخذ قيمة تتراوح بين الصفر والواحد. كلما اقترب المعامل من الواحد، زاد الاهتمام بالنتائج الأفضل؛ وكلما اقترب من الصفر، زاد أخذ أسوأ النتائج الممكنة في الحسبان.

الصياغة الرياضية

لنفترض وجود ما يلي:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — مجموعة الاستراتيجيات المتاحة (البدائل).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — مجموعة حالات الطبيعة الممكنة.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — دالة العائد (المنفعة) عند اختيار الاستراتيجية $s_i$ ووقوع الحالة ${\theta }_j$. غالبًا ما يتم تمثيلها بمصفوفة العوائد $A=[a_{ij}]$، حيث $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

يقدم معيار هورفيتز معامل التفاؤل $\alpha$ (ألفا)، والذي يختاره متخذ القرار في النطاق $0\le \alpha \le 1$. يعكس هذا المعامل درجة تفاؤل متخذ القرار:

• $\alpha =1$ يوافق التفاؤل الكامل (يؤخذ في الاعتبار أفضل نتيجة ممكنة فقط).
• $\alpha =0$ يوافق التشاؤم الكامل (يؤخذ في الاعتبار أسوأ نتيجة ممكنة فقط، ويتحول المعيار إلى معيار والد).
• يمكن تفسير القيمة $(1-\alpha )$ على أنها معامل التشاؤم.

إجراء تطبيق معيار هورفيتز:

1. إيجاد الحد الأدنى والأقصى للعائد لكل استراتيجية: لكل استراتيجية $s_i\in S$، يتم تحديد ما يلي:

   **النتيجة الأسوأ (الحد الأدنى للعائد):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **النتيجة الأفضل (الحد الأقصى للعائد):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. حساب قيمة معيار هورفيتز لكل استراتيجية: لكل استراتيجية $s_i$، يتم حساب قيمة مرجحة تجمع بين أفضل وأسوأ النتائج مع الأخذ في الاعتبار معامل التفاؤل $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   تمثل هذه القيمة العائد المتوقع للاستراتيجية $s_i$ وفقًا لتفضيلات متخذ القرار المعبر عنها من خلال $\alpha$.

1. اختيار الاستراتيجية المثلى: يتم اختيار الاستراتيجية $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ التي تعظم القيمة المحسوبة لمعيار هورفيتز:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

القيمة المثلى لمعيار هورفيتز (المستوى المضمون مع الأخذ في الاعتبار التفاؤل $\alpha$) تساوي: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

ملاحظة حول دالة الخسارة

إذا تم استخدام دالة الخسارة $L(s_i,{\theta }_j)$، التي يجب تقليلها، فإن معيار هورفيتز يُطبق لتقليل المزيج المرجح لأفضل النتائج (أقل الخسائر) وأسوأها (أكبر الخسائر):

1. لكل استراتيجية $s_i$، يتم إيجاد الحد الأدنى للخسائر $L_i^{min}$ والحد الأقصى $L_i^{max}$.
2. تُحسب القيمة: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. يتم اختيار الاستراتيجية التي تقلل هذه القيمة: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

هنا، لا يزال $\alpha$ هو معامل التفاؤل: عند $\alpha =1$ يركز متخذ القرار على تقليل الخسائر الدنيا (متفائلاً بأفضل نتيجة)، وعند $\alpha =0$ يركز على تقليل الخسائر القصوى (متشائماً ومستعداً للأسوأ).

تطبيق المعيار

تتضمن عملية تطبيق معيار هورفيتز الخطوات التالية:

1. يتم تحديد النتائج الدنيا والقصوى لكل استراتيجية ممكنة.
2. لكل استراتيجية، يتم حساب تقييم نهائي يمثل قيمة مرجحة بين أسوأ نتائجها وأفضلها، اعتمادًا على مستوى التفاؤل المختار.
3. يتم اختيار الاستراتيجية التي يكون تقييمها النهائي هو الأعلى.

بهذه الطريقة، يختار متخذ القرار الاستراتيجية التي تأخذ في الاعتبار على أفضل وجه موقفه الشخصي تجاه المخاطر وعدم اليقين.

المزايا والعيوب

المزايا:

• يسمح بتكييف عملية الاختيار بناءً على طبيعة وتفضيلات متخذ القرار.
• يأخذ في الاعتبار كلاً من المخاطر والمكاسب المحتملة.

العيوب:

• يتطلب اختيارًا ذاتيًا لمعامل التفاؤل، مما قد يؤثر على موضوعية القرار.