Hurwicz criterion — קריטריון הורוויץ

קריטריון הורוויץ — אחת משיטות קבלת ההחלטות בתנאי אי-ודאות, המציעה גישה מאוזנת בין אופטימיזם קיצוני לפסימיזם קיצוני.

מהות הקריטריון

בבחירת אסטרטגיה במצב שבו תוצאת האירועים אינה ידועה, קריטריון הורוויץ מציע להתחשב בו-זמנית:

• בתוצאה הגרועה ביותר האפשרית (גישה פסימיסטית),
• בתוצאה הטובה ביותר האפשרית (גישה אופטימיסטית).

לשם כך נעשה שימוש בפרמטר מיוחד — מקדם האופטימיזם, הנוטל ערך בין אפס לאחד. ככל שהמקדם קרוב יותר לאחד, כך מוקדשת תשומת לב רבה יותר לתוצאות הטובות ביותר; ככל שהוא קרוב יותר לאפס, כך מובאות בחשבון יותר התוצאות הגרועות ביותר האפשריות.

ניסוח מתמטי

יינתן:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — קבוצת האסטרטגיות (האלטרנטיבות) הזמינות.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — קבוצת מצבי הטבע האפשריים.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — פונקציית הרווח (התועלת) בבחירת אסטרטגיה $s_i$ ובהתרחשות מצב ${\theta }_j$. לרוב מיוצגת כמטריצת תשלומים $A=[a_{ij}]$, כאשר $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

קריטריון הורוויץ מציג את מקדם האופטימיזם $\alpha$ (אלפא), הנבחר על ידי מקבל ההחלטות (מקה"ד) בטווח $0\le \alpha \le 1$. מקדם זה משקף את מידת האופטימיזם של מקה"ד:

• $\alpha =1$ מתאים לאופטימיזם מלא (מובאת בחשבון רק התוצאה הטובה ביותר האפשרית).
• $\alpha =0$ מתאים לפסימיזם מלא (מובאת בחשבון רק התוצאה הגרועה ביותר האפשרית; הקריטריון מצטמצם לקריטריון וולד).
• הערך $(1-\alpha )$ ניתן לפרש כמקדם הפסימיזם.

נוהל יישום קריטריון הורוויץ:

1. מציאת הרווח המינימלי והמקסימלי לכל אסטרטגיה: לכל אסטרטגיה $s_i\in S$ נקבעים:

   **התוצאה הגרועה ביותר (רווח מינימלי):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **התוצאה הטובה ביותר (רווח מקסימלי):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. חישוב ערך קריטריון הורוויץ לכל אסטרטגיה: לכל אסטרטגיה $s_i$ מחושב ערך משוקלל המשלב את התוצאה הטובה והגרועה ביותר בהתאם למקדם האופטימיזם $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   ערך זה מייצג את הרווח הצפוי של אסטרטגיה $s_i$ בהתאם להעדפות מקה"ד המבוטאות דרך $\alpha$.

1. בחירת האסטרטגיה האופטימלית: נבחרת האסטרטגיה $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ הממקסמת את ערך קריטריון הורוויץ המחושב:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

הערך האופטימלי של קריטריון הורוויץ (הרמה המובטחת תוך התחשבות באופטימיזם $\alpha$) שווה ל: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

הערה בדבר פונקציית ההפסד

אם נעשה שימוש בפונקציית הפסד $L(s_i,{\theta }_j)$ שיש למזערה, קריטריון הורוויץ מיושם למזעור הצירוף המשוקלל של התוצאה הטובה ביותר (הפסד מינימלי) והגרועה ביותר (הפסד מקסימלי):

1. לכל אסטרטגיה $s_i$ נמצאים ההפסד המינימלי $L_i^{min}$ וההפסד המקסימלי $L_i^{max}$.
2. מחושב הערך: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. נבחרת האסטרטגיה הממזערת ערך זה: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

כאן $\alpha$ הוא עדיין מקדם האופטימיזם: בעת $\alpha =1$ מתמקד מקה"ד במזעור ההפסד המינימלי (מקווה באופטימיות לתוצאה הטובה), בעת $\alpha =0$ — במזעור ההפסד המקסימלי (מתכונן בפסימיות לתרחיש הגרוע ביותר).

יישום הקריטריון

תהליך יישום קריטריון הורוויץ כולל את השלבים הבאים:

1. נקבעים התוצאה המינימלית והמקסימלית לכל אסטרטגיה אפשרית.
2. לכל אסטרטגיה מחושב ציון סופי, המהווה ערך משוקלל בין תוצאתה הגרועה לטובה ביותר, בהתאם לרמת האופטימיזם הנבחרת.
3. נבחרת האסטרטגיה בעלת הציון הסופי המרבי.

כך בוחר מקבל ההחלטות את האסטרטגיה המתחשבת באופן הטוב ביותר ביחסו האישי לסיכון ולאי-ודאות.

יתרונות וחסרונות

יתרונות:

• מאפשר להתאים את תהליך הבחירה בהתאם לאופי ולהעדפות מקבל ההחלטות.
• מתחשב הן בסיכון והן בתועלות הפוטנציאליות.

חסרונות:

• מחייב בחירה סובייקטיבית של מקדם האופטימיזם, דבר העלול להשפיע על אובייקטיביות ההחלטה.