Hurwicz Kriteri

Hurwicz Kriteri — belirsizlik koşullarında karar verme yöntemlerinden biri olup aşırı iyimserlik ile aşırı kötümserlik arasında dengeli bir yaklaşım sunar.

Kriterin özü

Olayların sonucunun bilinmediği bir durumda strateji seçerken Hurwicz Kriteri, aynı anda şunları dikkate almayı önerir:

• olası en kötü sonuç (kötümser yaklaşım),
• olası en iyi sonuç (iyimser yaklaşım).

Bu amaçla özel bir parametre kullanılır — iyimserlik katsayısı; bu katsayı sıfır ile bir arasında bir değer alır. Katsayı bire ne kadar yakınsa en iyi sonuçlara o kadar fazla ağırlık verilir; sıfıra ne kadar yakınsa olası en kötü sonuçlar o kadar fazla dikkate alınır.

Matematiksel formülasyon

Verilenlerin tanımı:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — mevcut stratejiler (alternatifler) kümesi.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — olası doğa durumları kümesi.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — $s_i$ stratejisinin seçilmesi ve ${\theta }_j$ durumunun gerçekleşmesi hâlinde elde edilen kazanç (fayda) fonksiyonu. Genellikle $A=[a_{ij}]$ ödeme matrisiyle temsil edilir; burada $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Hurwicz Kriteri, karar vericinin (KV) $0\le \alpha \le 1$ aralığında seçtiği iyimserlik katsayısı $\alpha$ (alfa) parametresini tanımlar. Bu katsayı KV'nin iyimserlik derecesini yansıtır:

• $\alpha =1$ tam iyimserliğe karşılık gelir (yalnızca olası en iyi sonuç dikkate alınır).
• $\alpha =0$ tam kötümserliğe karşılık gelir (yalnızca olası en kötü sonuç dikkate alınır; kriter Wald kriterine indirgenir).
• $(1-\alpha )$ değeri kötümserlik katsayısı olarak yorumlanabilir.

Hurwicz Kriteri'nin uygulanma prosedürü:

1. Her strateji için minimum ve maksimum kazancın bulunması: Her $s_i\in S$ stratejisi için şunlar belirlenir:

   **En kötü sonuç (minimum kazanç):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **En iyi sonuç (maksimum kazanç):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. Her strateji için Hurwicz Kriteri değerinin hesaplanması: Her $s_i$ stratejisi için, $\alpha$ iyimserlik katsayısı gözetilerek en iyi ve en kötü sonuçları birleştiren ağırlıklı değer hesaplanır:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Bu değer, KV'nin $\alpha$ aracılığıyla ifade ettiği tercihlerine göre $s_i$ stratejisinin beklenen kazancını temsil eder.

1. Optimal stratejinin seçilmesi: Hesaplanan Hurwicz Kriteri değerini maksimize eden $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ stratejisi seçilir:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

Hurwicz Kriteri'nin optimal değeri (iyimserlik $\alpha$ dikkate alınarak garanti düzeyi) şuna eşittir: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Kayıp fonksiyonu hakkında not

Minimize edilmesi gereken $L(s_i,{\theta }_j)$ kayıp fonksiyonu kullanılıyorsa, Hurwicz Kriteri en iyi (minimum kayıp) ve en kötü (maksimum kayıp) sonuçların ağırlıklı kombinasyonunu minimize etmek için uygulanır:

1. Her $s_i$ stratejisi için minimum $L_i^{min}$ ve maksimum $L_i^{max}$ kayıplar bulunur.
2. Değer hesaplanır: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. Bu değeri minimize eden strateji seçilir: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Burada $\alpha$ yine iyimserlik katsayısıdır: $\alpha =1$ durumunda KV minimum kayıpları minimize etmeye odaklanır (iyimser biçimde en iyi sonucu umar), $\alpha =0$ durumunda ise maksimum kayıpları minimize etmeye odaklanır (kötümser biçimde en kötüye hazırlanır).

Kriterin uygulanması

Hurwicz Kriteri'nin uygulanma süreci şu adımları kapsar:

1. Her olası strateji için minimum ve maksimum sonuçlar belirlenir.
2. Her strateji için, seçilen iyimserlik düzeyine bağlı olarak en kötü ve en iyi sonuçlar arasındaki ağırlıklı değeri temsil eden nihai puan hesaplanır.
3. Nihai puanı en yüksek olan strateji seçilir.

Böylece karar verici, kendi risk ve belirsizliğe karşı tutumunu en iyi şekilde yansıtan stratejiyi seçmiş olur.

Avantajlar ve dezavantajlar

Avantajlar:

• Karar vericinin kişiliğine ve tercihlerine bağlı olarak seçim sürecini uyarlamaya olanak tanır.
• Hem riski hem de potansiyel kazançları dikkate alır.

Dezavantajlar:

• İyimserlik katsayısının öznel olarak seçilmesini gerektirir; bu durum kararın nesnelliğini etkileyebilir.