Hurwicz-kriteriet

Hurwicz-kriteriet — en av metoderna för beslutsfattande under osäkerhet, som erbjuder ett balanserat förhållningssätt mellan extremt optimism och extremt pessimism.

Kriteriets innebörd

Vid val av strategi i en situation där händelsernas utfall är okänt föreslår Hurwicz-kriteriet att man samtidigt beaktar:

• det sämsta möjliga resultatet (pessimistiskt förhållningssätt),
• det bästa möjliga resultatet (optimistiskt förhållningssätt).

För detta används en särskild parameter — optimismkoefficienten — som antar ett värde mellan noll och ett. Ju närmare koefficienten är ett, desto mer uppmärksamhet ägnas åt de bästa utfallen; ju närmare den är noll, desto mer beaktas de sämsta möjliga resultaten.

Matematisk formulering

Anta att följande är givna:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — mängden av tillgängliga strategier (alternativ).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — mängden av möjliga naturtillstånd.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — vinstfunktion (nyttofunktion) vid val av strategi $s_i$ och inträffande av tillstånd ${\theta }_j$. Representeras ofta av en betalningsmatris $A=[a_{ij}]$, där $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Hurwicz-kriteriet introducerar optimismkoefficienten $\alpha$ (alfa), som väljs av beslutsfattaren (BF) i intervallet $0\le \alpha \le 1$. Denna koefficient återspeglar graden av optimism hos BF:

• $\alpha =1$ motsvarar fullständig optimism (endast det bästa möjliga utfallet beaktas).
• $\alpha =0$ motsvarar fullständig pessimism (endast det sämsta möjliga utfallet beaktas; kriteriet reduceras till Walds kriterium).
• Värdet $(1-\alpha )$ kan tolkas som pessimismkoefficienten.

Procedur för tillämpning av Hurwicz-kriteriet:

1. Beräkning av minsta och största vinst för varje strategi: För varje strategi $s_i\in S$ fastställs:

   **Sämsta utfall (minsta vinst):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **Bästa utfall (största vinst):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. Beräkning av Hurwicz-kriteriets värde för varje strategi: För varje strategi $s_i$ beräknas ett viktat värde som kombinerar det bästa och det sämsta utfallet med hänsyn till optimismkoefficienten $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Detta värde representerar den förväntade vinsten för strategi $s_i$ enligt BF:s preferenser uttryckta genom $\alpha$.

1. Val av optimal strategi: Den strategi $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ väljs som maximerar det beräknade värdet av Hurwicz-kriteriet:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

Det optimala värdet av Hurwicz-kriteriet (garanterad nivå med hänsyn till optimism $\alpha$) är lika med: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Anmärkning om förlustfunktionen

Om en förlustfunktion $L(s_i,{\theta }_j)$ används som ska minimeras, tillämpas Hurwicz-kriteriet för att minimera den viktade kombinationen av det bästa (minimala förluster) och det sämsta (maximala förluster) utfallet:

1. För varje strategi $s_i$ bestäms minimala $L_i^{min}$ och maximala $L_i^{max}$ förluster.
2. Värdet beräknas: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. Den strategi väljs som minimerar detta värde: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Här är $\alpha$ fortfarande optimismkoefficienten: vid $\alpha =1$ fokuserar BF på att minimera de minimala förlusterna (optimistiskt hoppas på det bästa utfallet), vid $\alpha =0$ — på att minimera de maximala förlusterna (pessimistiskt förbereder sig för det värsta).

Tillämpning av kriteriet

Processen för tillämpning av Hurwicz-kriteriet omfattar följande steg:

1. Det minimala och maximala resultatet bestäms för varje möjlig strategi.
2. För varje strategi beräknas ett sammanvägt värde, som utgör ett viktat värde mellan dess sämsta och bästa utfall, beroende på den valda optimismnivån.
3. Den strategi väljs vars sammanvägda värde är maximalt.

På så sätt väljer beslutsfattaren den strategi som på bästa sätt tar hänsyn till dennes egna inställning till risk och osäkerhet.

Fördelar och nackdelar

Fördelar:

• Möjliggör anpassning av beslutsprocessen beroende på karaktären och preferenserna hos beslutsfattaren.
• Beaktar såväl risk som potentiella fördelar.

Nackdelar:

• Kräver ett subjektivt val av optimismkoefficienten, vilket kan påverka beslutets objektivitet.