Hurwicz-kritérium

A Hurwicz-kritérium — a bizonytalanság melletti döntéshozatal egyik módszere, amely kiegyensúlyozott megközelítést kínál a szélsőséges optimizmus és a szélsőséges pesszimizmus között.

A kritérium lényege

Az események kimenetele ismeretlen helyzetben történő stratégiaválasztás során a Hurwicz-kritérium azt javasolja, hogy egyidejűleg vegyük figyelembe:

• a lehető legrosszabb eredményt (pesszimista megközelítés),
• a lehető legjobb eredményt (optimista megközelítés).

Ehhez egy speciális paramétert alkalmazunk — az optimizmus-együtthatót, amely nulla és egy közötti értéket vesz fel. Minél közelebb van az együttható az egyhez, annál nagyobb figyelmet fordítunk a legjobb kimenetelekre; minél közelebb van a nullához, annál inkább a lehető legrosszabb eredményeket vesszük figyelembe.

Matematikai megfogalmazás

Legyenek adottak:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — a rendelkezésre álló stratégiák (alternatívák) halmaza.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — a természet lehetséges állapotainak halmaza.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — a nyereség (hasznosság) függvénye a $s_i$ stratégia választásakor és a ${\theta }_j$ állapot bekövetkezésekor. Gyakran egy $A=[a_{ij}]$ kifizetési mátrixszal reprezentálják, ahol $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

A Hurwicz-kritérium bevezeti az optimizmus-együtthatót $\alpha$ (alfa), amelyet a döntéshozó (DH) választ meg a $0\le \alpha \le 1$ tartományban. Ez az együttható a DH optimizmusának fokát tükrözi:

• $\alpha =1$ teljes optimizmusnak felel meg (csak a lehető legjobb kimenetelt veszi figyelembe).
• $\alpha =0$ teljes pesszimizmusnak felel meg (csak a lehető legrosszabb kimenetelt veszi figyelembe, a kritérium a Wald-kritériummá egyszerűsödik).
• A $(1-\alpha )$ értéke pesszimizmus-együtthatóként értelmezhető.

A Hurwicz-kritérium alkalmazásának menete:

1. Az egyes stratégiák minimális és maximális nyereségének meghatározása: Minden $s_i\in S$ stratégiára meghatározzuk:

   **Legrosszabb kimenetel (minimális nyereség):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **Legjobb kimenetel (maximális nyereség):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. A Hurwicz-kritérium értékének kiszámítása minden egyes stratégiára: Minden $s_i$ stratégiára kiszámítjuk azt a súlyozott értéket, amely az optimizmus-együttható $\alpha$ figyelembevételével kombinálja a legjobb és legrosszabb kimeneteleket:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Ez az érték a $s_i$ stratégia várható nyereségét reprezentálja a DH $\alpha$-on keresztül kifejezett preferenciái szerint.

1. Az optimális stratégia kiválasztása: Azt a $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ stratégiát választjuk, amely maximalizálja a Hurwicz-kritérium kiszámított értékét:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

A Hurwicz-kritérium optimális értéke (az optimizmus $\alpha$ figyelembevételével garantált szint) egyenlő: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Megjegyzés a veszteségfüggvényről

Ha $L(s_i,{\theta }_j)$ veszteségfüggvényt alkalmazunk, amelyet minimalizálni kell, akkor a Hurwicz-kritériumot a legjobb (minimális veszteség) és legrosszabb (maximális veszteség) kimenetel súlyozott kombinációjának minimalizálására alkalmazzuk:

1. Minden $s_i$ stratégiára meghatározzuk a minimális $L_i^{min}$ és maximális $L_i^{max}$ veszteségeket.
2. Kiszámítjuk az értéket: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. Kiválasztjuk azt a stratégiát, amely minimalizálja ezt az értéket: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Itt $\alpha$ továbbra is az optimizmus-együttható: $\alpha =1$ esetén a DH a minimális veszteségek minimalizálására összpontosít (optimistán reméli a legjobb kimenetelt), $\alpha =0$ esetén pedig a maximális veszteségek minimalizálására (pesszimistán felkészül a legrosszabbra).

A kritérium alkalmazása

A Hurwicz-kritérium alkalmazásának folyamata a következő lépéseket foglalja magában:

1. Minden lehetséges stratégiára meghatározzuk a minimális és maximális eredményt.
2. Minden stratégiára kiszámítjuk a végső értékelést, amely a legrosszabb és legjobb kimenetele közötti súlyozott érték, a választott optimizmus-szinttől függően.
3. Azt a stratégiát választjuk, amelynek végső értékelése a legmagasabb.

Eképpen a döntéshozó azt a stratégiát választja, amely a legjobban figyelembe veszi saját kockázathoz és bizonytalansághoz való viszonyát.

Előnyök és hátrányok

Előnyök:

• Lehetővé teszi a választási folyamat adaptálását a döntéshozó jellemzőitől és preferenciáitól függően.
• Figyelembe veszi mind a kockázatot, mind a potenciális nyereségeket.

Hátrányok:

• Az optimizmus-együttható szubjektív megválasztását igényli, ami befolyásolhatja a döntés objektivitását.