Hurwicz-criterium

Het criterium van Hurwicz — een van de methoden voor besluitvorming onder onzekerheid, dat een evenwichtige benadering biedt tussen uiterst optimisme en uiterst pessimisme.

Kern van het criterium

Bij het kiezen van een strategie in een situatie waarin de uitkomst van gebeurtenissen onbekend is, stelt het criterium van Hurwicz voor om tegelijkertijd rekening te houden met:

• de slechtst mogelijke uitkomst (pessimistische benadering),
• de best mogelijke uitkomst (optimistische benadering).

Hiervoor wordt een speciale parameter gebruikt — de optimismecoëfficiënt, die een waarde aanneemt tussen nul en één. Hoe dichter de coëfficiënt bij één ligt, hoe meer aandacht er wordt besteed aan de beste uitkomsten; hoe dichter hij bij nul ligt, hoe meer rekening wordt gehouden met de slechtst mogelijke resultaten.

Wiskundige formulering

Gegeven zijn:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — de verzameling beschikbare strategieën (alternatieven).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — de verzameling mogelijke toestanden van de natuur.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — de winst- (nuts)functie bij het kiezen van strategie $s_i$ en het optreden van toestand ${\theta }_j$. Vaak weergegeven als een betalingsmatrix $A=[a_{ij}]$, waarbij $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Het criterium van Hurwicz introduceert de optimismecoëfficiënt $\alpha$ (alfa), die wordt gekozen door de beslisser (DM), in het bereik $0\le \alpha \le 1$. Deze coëfficiënt weerspiegelt de mate van optimisme van de beslisser:

• $\alpha =1$ komt overeen met volledig optimisme (alleen de best mogelijke uitkomst wordt meegewogen).
• $\alpha =0$ komt overeen met volledig pessimisme (alleen de slechtst mogelijke uitkomst wordt meegewogen; het criterium reduceert tot het criterium van Wald).
• De waarde $(1-\alpha )$ kan worden geïnterpreteerd als de pessimismecoëfficiënt.

Procedure voor toepassing van het criterium van Hurwicz:

1. Bepaling van de minimale en maximale winst voor elke strategie: Voor elke strategie $s_i\in S$ worden bepaald:

   **Slechtste uitkomst (minimale winst):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **Beste uitkomst (maximale winst):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. Berekening van de waarde van het criterium van Hurwicz voor elke strategie: Voor elke strategie $s_i$ wordt een gewogen waarde berekend die de beste en slechtste uitkomst combineert met inachtneming van de optimismecoëfficiënt $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Deze waarde vertegenwoordigt de verwachte winst van strategie $s_i$ overeenkomstig de voorkeuren van de beslisser, uitgedrukt via $\alpha$.

1. Keuze van de optimale strategie: De strategie $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ wordt gekozen die de berekende waarde van het criterium van Hurwicz maximaliseert:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

De optimale waarde van het criterium van Hurwicz (het gegarandeerde niveau met inachtneming van optimisme $\alpha$) is gelijk aan: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Opmerking over de verliesfunctie

Als een verliesfunctie $L(s_i,{\theta }_j)$ wordt gebruikt die geminimaliseerd moet worden, dan wordt het criterium van Hurwicz toegepast om een gewogen combinatie van de beste (minimale verliezen) en slechtste (maximale verliezen) uitkomsten te minimaliseren:

1. Voor elke strategie $s_i$ worden de minimale $L_i^{min}$ en maximale $L_i^{max}$ verliezen bepaald.
2. De waarde wordt berekend: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. De strategie die deze waarde minimaliseert wordt gekozen: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Hier is $\alpha$ nog steeds de optimismecoëfficiënt: bij $\alpha =1$ richt de beslisser zich op het minimaliseren van de minimale verliezen (optimistisch hopend op de beste uitkomst), bij $\alpha =0$ — op het minimaliseren van de maximale verliezen (pessimistisch voorbereid op het ergste).

Toepassing van het criterium

Het proces van toepassing van het criterium van Hurwicz omvat de volgende stappen:

1. De minimale en maximale resultaten worden bepaald voor elke mogelijke strategie.
2. Voor elke strategie wordt een eindscore berekend, die een gewogen waarde vertegenwoordigt tussen de slechtste en beste uitkomst, afhankelijk van het gekozen optimismeniveau.
3. De strategie met de hoogste eindscore wordt gekozen.

Op deze manier kiest de beslisser de strategie die het best rekening houdt met zijn eigen houding ten opzichte van risico en onzekerheid.

Voordelen en nadelen

Voordelen:

• Maakt het mogelijk het keuzeproces aan te passen op basis van het karakter en de voorkeuren van de beslisser.
• Houdt rekening met zowel risico als potentiële voordelen.

Nadelen:

• Vereist een subjectieve keuze van de optimismecoëfficiënt, wat de objectiviteit van de beslissing kan beïnvloeden.