Feasible region — গ্রহণযোগ্য সমাধানের ক্ষেত্র
গ্রহণযোগ্য সমাধানের ক্ষেত্র (ওডিআর) (এছাড়াও গ্রহণযোগ্য সমাধানের সমষ্টি, ইংরেজি: Feasible region, feasible set) — অপারেশন রিসার্চ, অপ্টিমাইজেশন এবং গাণিতিক মডেলিংয়ে এটি এমন সমস্ত সম্ভাব্য সমাধানের (চলকের মানের সেট) সমষ্টি, যেগুলো কার্যের উপর আরোপিত সমস্ত সীমাবদ্ধতা পূরণ করে।
ওডিআর একটি উপ-স্থান গঠন করে যেখানে সর্বোত্তম সমাধানের অনুসন্ধান পরিচালিত হয়। এই ক্ষেত্রের বাইরে অবস্থিত যেকোনো সমাধান অগ্রহণযোগ্য।
সংজ্ঞা ও গঠন
গ্রহণযোগ্য সমাধানের ক্ষেত্র গঠিত হয় কার্যের প্রতিটি পৃথক সীমাবদ্ধতা দ্বারা নির্ধারিত সমষ্টিগুলোর ছেদ হিসেবে। সীমাবদ্ধতাগুলো নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যায়:
- অসমতা: চলকের মান বা তাদের সংমিশ্রণের জন্য উপরের বা নিচের সীমা নির্ধারণ করে (যেমন, "A সম্পদের ব্যয় ১০০ একক অতিক্রম করতে পারবে না", "উৎপাদিত পণ্যের পরিমাণ কমপক্ষে ৫০ পিস হতে হবে")।
- সমতা: শর্তের সুনির্দিষ্ট পূরণ দাবি করে (যেমন, "পরিবহনের মোট পরিমাণ ১০০০ টনের সমান হতে হবে", "প্রবেশ ও বহির্গমন প্রবাহের ভারসাম্য শূন্য")।
- চলকের চিহ্নের শর্ত: প্রায়শই চলকগুলো অঋণাত্মক, পূর্ণসংখ্যা বা কোনো নির্দিষ্ট বিযুক্ত সমষ্টির অন্তর্ভুক্ত হতে হয়।
কোনো বিন্দু (বা চলকের মানের ভেক্টর) ওডিআর-এর অন্তর্গত তখন এবং কেবল তখনই, যখন এটি একই সাথে এই সমস্ত সীমাবদ্ধতা পূরণ করে।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
ওডিআর প্রায়শই একটি স্পষ্ট জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রাখে, বিশেষত অল্প সংখ্যক চলকের কার্যগুলোতে:
- দ্বিমাত্রিক স্থানে (২টি চলক): প্রতিটি রৈখিক অসমতা-সীমাবদ্ধতা একটি অর্ধসমতল নির্ধারণ করে। ওডিআর এই অর্ধসমতলগুলোর ছেদ — একটি উত্তল বহুভুজ (সম্ভবত অসীম বা শূন্য)।
- ত্রিমাত্রিক স্থানে (৩টি চলক): প্রতিটি রৈখিক অসমতা-সীমাবদ্ধতা একটি অর্ধস্থান নির্ধারণ করে। ওডিআর এই অর্ধস্থানগুলোর ছেদ — একটি উত্তল বহুতলক (পলিহেড্রন)।
- বহুমাত্রিক স্থানে: রৈখিক সীমাবদ্ধতা দ্বারা নির্ধারিত ওডিআর একটি উত্তল বহুতলক (পলিটোপ)।
অরৈখিক সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে ওডিআর আরও জটিল আকার ধারণ করতে পারে এবং উত্তল নাও হতে পারে।
অপ্টিমাইজেশনে ভূমিকা
গ্রহণযোগ্য সমাধানের ক্ষেত্র অপ্টিমাইজেশনে একটি মৌলিক ভূমিকা পালন করে:
1. অনুসন্ধান স্থান নির্ধারণ: কার্যের সর্বোত্তম সমাধান (যদি বিদ্যমান থাকে) সর্বদা ওডিআর-এর ভেতরে বা তার সীমানায় অবস্থান করে। অপ্টিমাইজেশন অ্যালগরিদমগুলো ঠিক এই ক্ষেত্রেই লক্ষ্য ফাংশনের চরম মান খোঁজে। 2. সমাধানের অস্তিত্ব যাচাই: যদি ওডিআর শূন্য সমষ্টি হয় (অর্থাৎ সীমাবদ্ধতাগুলো পরস্পরবিরোধী), তবে কার্যের কোনো গ্রহণযোগ্য সমাধান নেই, এবং ফলস্বরূপ, কোনো সর্বোত্তম সমাধানও নেই। 3. সর্বোত্তম সমাধানে প্রভাব: ওডিআর-এর আকার ও আকৃতি সরাসরি লক্ষ্য ফাংশনের চরম মান অর্জনের সম্ভাবনা এবং সেই চরম মানের মূল্যকে প্রভাবিত করে।
ওডিআর-এর বৈশিষ্ট্য (রৈখিক প্রোগ্রামিং কার্যগুলোতে)
রৈখিক প্রোগ্রামিং (এলপি) কার্যগুলোতে, যেখানে সমস্ত সীমাবদ্ধতা ও লক্ষ্য ফাংশন রৈখিক, ওডিআর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য ধারণ করে:
- উত্তলতা: যদি দুটি বিন্দু ওডিআর-এর অন্তর্গত হয়, তবে এই বিন্দুদ্বয় সংযোগকারী সম্পূর্ণ রেখাংশটিও ওডিআর-এর অন্তর্গত। এই বৈশিষ্ট্য নিশ্চিত করে যে সর্বোত্তম সমাধান (যদি বিদ্যমান ও অনন্য হয়) ওডিআর বহুতলকের একটি শীর্ষবিন্দুতে অবস্থান করবে।
- বদ্ধতা: ওডিআর তার সীমানাগুলো অন্তর্ভুক্ত করে (অকঠোর অসমতা ≤, ≥ এবং সমতার কারণে)।
ওডিআর হতে পারে:
- সীমাবদ্ধ: সসীম মাত্রা বিশিষ্ট।
- অসীম: এক বা একাধিক দিকে অনন্তে প্রসারিত।
- শূন্য: কোনো বিন্দু ধারণ করে না।
সাহিত্য
- ভেন্তসেল ই. এস. অপারেশন রিসার্চ: কার্য, নীতি, পদ্ধতিতত্ত্ব। — মস্কো: নাউকা, ১৯৮৮।
- আকফ আর., সাসিয়েনি এম. অপারেশন রিসার্চের মূলনীতি। — মস্কো: মির, ১৯৭১।
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
- Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)
আরও দেখুন
- অপারেশন রিসার্চ
- অপ্টিমাইজেশন
- গাণিতিক মডেল
- সীমাবদ্ধতা
- গ্রহণযোগ্য সমাধান
- সর্বোত্তম সমাধান
- লক্ষ্য ফাংশন
- রৈখিক প্রোগ্রামিং
- উত্তল সমষ্টি