Feasible region — अनुमेय हल का क्षेत्र

अनुमेय हल का क्षेत्र (ОДР) (जिसे अनुमेय हलों का समुच्चय भी कहते हैं, अंग्रेज़ी: Feasible region, feasible set) — संक्रिया अनुसंधान, अनुकूलन और गणितीय मॉडलिंग में यह उन सभी संभावित हलों (चरों के मानों के समुच्चयों) का समुच्चय है जो कार्य पर लगाई गई सभी बाधाओं को संतुष्ट करते हैं।

ОДР एक उपस्थान है जिसमें इष्टतम हल की खोज की जाती है। इस क्षेत्र के बाहर स्थित कोई भी हल अनुमेय नहीं माना जाता।

परिभाषा और निर्माण

अनुमेय हल का क्षेत्र, कार्य की प्रत्येक व्यक्तिगत बाधा द्वारा परिभाषित समुच्चयों के प्रतिच्छेदन के रूप में निर्मित होता है। बाधाएँ निम्न रूपों में प्रस्तुत की जा सकती हैं:

• असमानताएँ: चरों के मानों या उनके संयोजनों के लिए ऊपरी या निचली सीमाएँ निर्धारित करती हैं (उदाहरण के लिए, "संसाधन A की खपत 100 इकाइयों से अधिक नहीं होनी चाहिए", "उत्पादित वस्तुओं की संख्या कम से कम 50 होनी चाहिए")।
• समानताएँ: शर्त के सटीक पूर्ण होने की आवश्यकता होती है (उदाहरण के लिए, "परिवहन की कुल मात्रा 1000 टन के बराबर होनी चाहिए", "आने और जाने वाले प्रवाहों का संतुलन शून्य है")।
• चरों के चिह्न की शर्तें: अक्सर चर अऋणात्मक, पूर्णांक होने चाहिए या किसी निश्चित असतत समुच्चय से संबंधित होने चाहिए।

कोई बिंदु (या चरों के मानों का सदिश) ОДР से तभी संबंधित होता है जब वह एक साथ इन सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है।

ज्यामितीय व्याख्या

ОДР की प्रायः एक स्पष्ट ज्यामितीय व्याख्या होती है, विशेष रूप से कम चरों वाले कार्यों में:

• द्विआयामी स्थान में (2 चर): प्रत्येक रैखिक असमानता-बाधा एक अर्धतल निर्धारित करती है। ОДР इन अर्धतलों का प्रतिच्छेदन है — एक उत्तल बहुभुज (संभवतः असीमित या रिक्त)।
• त्रिआयामी स्थान में (3 चर): प्रत्येक रैखिक असमानता-बाधा एक अर्धाकाश निर्धारित करती है। ОДР इन अर्धाकाशों का प्रतिच्छेदन है — एक उत्तल बहुफलक (पॉलीहेड्रन)।
• बहुआयामी स्थान में: रैखिक बाधाओं द्वारा परिभाषित ОДР एक उत्तल बहुफलक (पॉलीटोप) होती है।

अरैखिक बाधाओं के मामले में ОДР का आकार अधिक जटिल हो सकता है और वह उत्तल नहीं हो सकती।

अनुकूलन में भूमिका

अनुमेय हल का क्षेत्र अनुकूलन में मूलभूत भूमिका निभाता है:

1. खोज स्थान की परिभाषा: कार्य का इष्टतम हल (यदि वह अस्तित्व में है) सदैव ОДР के भीतर या उसकी सीमा पर स्थित होता है। अनुकूलन एल्गोरिदम इसी क्षेत्र में लक्ष्य फ़ंक्शन का चरम मान खोजते हैं। 2. हलों के अस्तित्व की जाँच: यदि ОДР रिक्त समुच्चय है (अर्थात बाधाएँ परस्पर विरोधाभासी हैं), तो कार्य का कोई अनुमेय हल नहीं है और परिणामस्वरूप कोई इष्टतम हल भी नहीं है। 3. इष्टतम हल पर प्रभाव: ОДР का आकार और आकृति सीधे लक्ष्य फ़ंक्शन के चरम मान की प्राप्ति की संभावना और उस चरम मान के मूल्य को प्रभावित करती है।

ОДР के गुण (रैखिक प्रोग्रामिंग के कार्यों में)

रैखिक प्रोग्रामिंग (LP) के कार्यों में, जहाँ सभी बाधाएँ और लक्ष्य फ़ंक्शन रैखिक होते हैं, ОДР में महत्वपूर्ण गुण होते हैं:

• उत्तलता: यदि दो बिंदु ОДР से संबंधित हैं, तो उन बिंदुओं को जोड़ने वाला संपूर्ण खंड भी ОДР से संबंधित होता है। यह गुण गारंटी देता है कि इष्टतम हल (यदि वह अस्तित्व में है और अद्वितीय है) ОДР के बहुफलक के किसी एक शीर्ष पर स्थित होगा।
• बंदता: ОДР में अपनी सीमाएँ सम्मिलित होती हैं (अदृढ़ असमानताओं ≤, ≥ और समानताओं के कारण)।

ОДР हो सकती है:

• परिबद्ध: सीमित आयाम वाली।
• अपरिबद्ध: एक या अनेक दिशाओं में अनंत तक फैली हुई।
• रिक्त: जिसमें कोई भी बिंदु न हो।

साहित्य

• वेन्त्सेल ई. एस. संक्रिया अनुसंधान: कार्य, सिद्धांत, कार्यप्रणाली। — मॉस्को: नाउका, 1988।
• अकॉफ़ आर., सासिएनी एम. संक्रिया अनुसंधान की मूल बातें। — मॉस्को: मीर, 1971।
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

यह भी देखें

• संक्रिया अनुसंधान
• अनुकूलन
• गणितीय मॉडल
• बाधाएँ
• अनुमेय हल
• इष्टतम हल
• लक्ष्य फ़ंक्शन
• रैखिक प्रोग्रामिंग
• उत्तल समुच्चय