Doelfunctie

Doelfunctie — dit is een mathematisch geformaliseerd criterium voor efficiëntie of voorkeur van de beslissingsnemer (DN), waarvan de waarde wordt geoptimaliseerd (gemaximaliseerd of geminimaliseerd) tijdens het oplossen van een keuze- of besturingsprobleem. In de regel hangt de waarde van de doelfunctie af van een verzameling bestuurbare variabelen (beslissingsvariabelen), die kunnen worden aangepast tijdens het zoeken naar de optimale oplossing. De doelfunctie weerspiegelt de kwantitatieve uitdrukking van doelen of voorkeuren, op basis waarvan de beslissing wordt genomen. Zij speelt een sleutelrol in optimalisatievraagstukken, systeemanalyse en de beslissingstheorie.

Doel en rol in modellering

De doelfunctie dient voor:

• Formalisering van het doel: Het omzetten van kwalitatieve doelen (beheer, ontwerp, planning) in een kwantitatief meetbare vorm.
• Vergelijking van alternatieven: Het bieden van een uniform criterium voor objectieve vergelijking van verschillende alternatieven of strategieën.
• Optimalisatie: Het vinden van de beste oplossing door het bepalen van het extremum (maximum of minimum) van de functie binnen het toelaatbare oplossingsgebied, bepaald door de beperkingen.

Structuur en typen

Wiskundig hangt de doelfunctie af van de vector van beslissingsvariabelen. Naar hun vorm kunnen doelfuncties zijn:

• Lineair: Vaak gebruikt in lineaire programmeringsproblemen.
• Niet-lineair: Bevatten niet-lineaire verbanden (bijvoorbeeld kwadratische, machtsfunctie-, exponentiële). Worden toegepast in niet-lineaire programmering.
• Continu of discontinu.
• Unimodaal (met één extremum) of multimodaal (met meerdere extrema).

Ook worden de volgende soorten problemen onderscheiden:

• Enkelvoudig criterium: Er wordt één doelfunctie geoptimaliseerd.
• Meervoudig criterium: Er wordt een vector van meerdere doelfuncties geoptimaliseerd, die vaak onderling tegenstrijdig zijn.

Voorbeelden van doelfuncties

Typische voorbeelden van doelfuncties zijn:

• bij maximalisatie: winst, productiviteit, rendement, nut, productievolume;
• bij minimalisatie: kosten, uitgaven, uitvoeringstijd, verliezen, risico, som van afwijkingen van het plan.

Belang van een correcte keuze

De keuze van de doelfunctie is de centrale stap bij het formuleren van een onderzoeksprobleem. Zoals in de toegepaste literatuur wordt opgemerkt, is een correct gekozen criterium met een minder nauwkeurige oplossing te verkiezen boven een optimale oplossing bij een onjuist criterium. Een inadequate doelfunctie leidt tot een oplossing die niet overeenkomt met de werkelijke doelen van de DN of het systeem.

Verband tussen minimalisatie en maximalisatie

In veel praktische vraagstukken kan het minimaliseren van één doelfunctie logischerwijs leiden tot het maximaliseren van een andere. Zo kan het verlagen van kosten of verwerkingstijd in een productieproces direct bijdragen aan de groei van winst of productiviteit.

Dit principe komt duidelijk naar voren binnen het concept van lean production, waarbij de nadruk ligt op het elimineren van verspilling als middel om de efficiëntie te verhogen.

Verspilling in lean production

• Overproductie;
• Wachten (stilstand);
• Overmatig transport;
• Onnodige bewerkingsstappen;
• Overmatige voorraden;
• Onnodige bewegingen;
• Defecte producten.

Het elimineren of minimaliseren van deze vormen van verspilling vormt de basis van vraagstukken in operations research en systeembeheer. Op deze basis worden ontwikkeld:

• Voorraadbeheersmodellen;
• Wachtrijmodellen;
• Modellen voor resourcetoewijzing.

Doelfunctie en beperkingen

Optimalisatie van de doelfunctie wordt altijd uitgevoerd rekening houdend met beperkingen. Beperkingen definiëren het toelaatbare oplossingsgebied (TOG) — de verzameling van alle alternatieven (waarden van variabelen) die voldoen aan de gestelde voorwaarden. De optimale oplossing is het punt in het TOG waar de doelfunctie zijn extremum bereikt.

Rol in operations research en de beslissingstheorie

De doelfunctie is een onmisbaar onderdeel van de probleemstelling in operations research en een instrument voor de formalisering van keuzecriteriums in de beslissingstheorie. Zij maakt het niet alleen mogelijk om voorkeuren te structureren, maar ook om wiskundige methoden toe te passen voor het vinden van optimale of toelaatbare oplossingen.

Literatuur

• Wentzel, E. S. Operations research: vraagstukken, principes, methodologie. — Moskou: Nauka, 1988.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

Zie ook

• Operations research
• Optimalisatie
• Beslissingstheorie
• Criterium
• Beperkingen
• Doel
• Wiskundig model
• Nutstheorie
• Lineaire programmering
• Toelaatbaar oplossingsgebied