Criterium van Wald

Criterium van Wald — een van de belangrijkste methoden voor besluitvorming onder onzekerheid. Het is gebaseerd op het principe van extreem pessimisme en is gericht op de keuze van een strategie die het beste resultaat oplevert in het slechtst mogelijke scenario.

Kern van het criterium

Het criterium gaat ervan uit dat de beslisser zich richt op de meest ongunstige uitkomst voor elke strategie. Voor elke alternatief wordt het slechtst mogelijke resultaat bepaald. Uit alle strategieën wordt die strategie gekozen waarbij dit slechtste resultaat het beste is van alle strategieën.

Met andere woorden, het criterium van Wald is gericht op het minimaliseren van de maximale verliezen en biedt de grootst mogelijke bescherming tegen ongunstige omstandigheden.

Toepassing van het criterium

Het toepassingsproces omvat de volgende stappen:

1. Voor elke strategie wordt het slechtst mogelijke resultaat bepaald.
2. De slechtste resultaten van alle strategieën worden vergeleken.
3. De strategie met de beste van de slechtste uitkomsten wordt gekozen.

Deze aanpak is kenmerkend voor uiterst voorzichtige beslissers die risico's willen minimaliseren, ongeacht de kans op de verschillende uitkomsten.

Wiskundige formulering

Gegeven zijn:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — de verzameling beschikbare strategieën (alternatieven) waaruit de beslisser (ДМ) kiest.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — de verzameling mogelijke toestanden van de natuur (externe omstandigheden, scenario's) die onafhankelijk zijn van de keuze van de beslisser.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — de winst- (nuts)functie, die een numerieke beoordeling geeft van het resultaat bij de keuze van strategie $s_i\in S$ en het optreden van natuurtoestand ${\theta }_j\in \Theta$. Vaak weergegeven als een uitbetalingsmatrix $A=[a_{ij}]$, waarbij $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Het criterium van Wald (of het maximincriterium) schrijft de volgende handelwijze voor:

1. Bepaling van de minimale winst voor elke strategie: Voor elke strategie $s_i$ wordt de slechtst mogelijke uitkomst (minimale winst) bepaald over alle mogelijke toestanden van de natuur:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. Keuze van de strategie met de maximale minimale winst: De strategie $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ wordt gekozen die de hoogste waarde oplevert onder de gevonden minimale winsten:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Het gegarandeerde (minimale) winstniveau bij gebruik van het criterium van Wald is gelijk aan: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Zo realiseert het criterium van Wald het principe van het maximine — het maximaliseren van de minimale winst. Het is gericht op een pessimistische kijk, ervan uitgaande dat welke beslissing ook wordt genomen, de natuur zal reageren op de voor de beslisser minst gunstige wijze.

Opmerking over de verliesfunctie

Als in plaats van de winstfunctie $u(s_i,{\theta }_j)$ een verliesfunctie $L(s_i,{\theta }_j)$ wordt gebruikt die geminimaliseerd dient te worden, dan verandert het criterium van Wald in het minimax-verliescriterium:

1. Voor elke strategie $s_i$ wordt de maximale waarde van de verliezen bepaald: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. De strategie die deze maximale verliezen minimaliseert wordt gekozen: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

Voordelen en nadelen

Voordelen:

• Eenvoud en duidelijkheid van de methode.
• Een hoge mate van veiligheid van beslissingen onder volledige onzekerheid.

Nadelen:

• Overmatig pessimisme: mogelijk hoge opbrengsten worden genegeerd ten gunste van verliesminimalisering.
• Kan leiden tot de keuze van al te conservatieve strategieën.