Criterium van Savage

Het criterium van Savage (ook bekend als het criterium van minimaal spijt) — een van de methoden voor besluitvorming onder onzekerheid. Het wordt toegepast in situaties waarin de kansen op verschillende uitkomsten onbekend zijn, en het doel is het minimaliseren van potentiële verliezen als gevolg van een niet-optimale beslissing.

Algemene karakterisering

Onder onzekerheid zijn de gevolgen van het kiezen van elke strategie niet exact bepaald. Om mogelijke alternatieven te evalueren wordt een aantal criteria gebruikt, zoals de criteria van Wald, Hurwicz, Laplace en Savage. Het criterium van Savage is niet gericht op het behalen van maximale winst, maar op de minimalisering van het maximale spijt (verlies ten opzichte van het best mogelijke resultaat).

Spijt is een grootheid die de gederfde winst weerspiegelt doordat niet de optimale strategie werd gekozen bij een bepaalde uitkomst.

Algoritme voor toepassing van het criterium van Savage

• Opstellen van de uitbetalingsmatrix: Er wordt een tabel opgesteld waarvan de rijen overeenkomen met mogelijke strategieën en de kolommen met mogelijke uitkomsten van gebeurtenissen. Op het snijpunt wordt het verwachte resultaat bij een bepaalde strategie en uitkomst genoteerd.
• Opstellen van de spijt­matrix (risicomatrix): Voor elke uitkomst (kolom) wordt de maximale uitbetalingswaarde bepaald. Vervolgens wordt voor elke cel de spijt berekend:
• Bepaling van het maximale spijt voor elke strategie: In elke rij van de spijt­matrix wordt de maximale waarde geselecteerd (het slechtste geval voor die strategie).
• Keuze van de optimale strategie: De strategie wordt gekozen waarvoor het maximale spijt minimaal is.

Zo realiseert het criterium van Savage het principe van minimalisering van het mogelijke verlies door een verkeerde beslissing.

Wiskundige formulering

Gegeven zijn:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — de verzameling beschikbare strategieën (alternatieven).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — de verzameling mogelijke toestandsvormen van de natuur.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — de uitbetalings­functie (nutsfunctie) bij het kiezen van strategie $s_i$ en het intreden van toestand ${\theta }_j$. Vaak weergegeven als een uitbetalings­matrix $A=[a_{ij}]$, waarbij $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Het criterium van Savage is gebaseerd op het begrip spijt (regret) of gederfde winst. Het spijt $r(s_i,{\theta }_j)$ voor strategie $s_i$ bij toestand van de natuur ${\theta }_j$ wordt gedefinieerd als het verschil tussen de maximaal mogelijke uitbetaling die had kunnen worden behaald bij die toestand van de natuur ${\theta }_j$ (indien de beste strategie voor die toestand was gekozen) en de feitelijke uitbetaling van strategie $s_i$.

Algoritme voor toepassing van het criterium van Savage:

1. Berekening van de spijt­matrix (risicomatrix):

   a) Bepaal de maximale uitbetaling voor elke toestand van de natuur (elke kolom van de uitbetalings­matrix):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Dit is het best mogelijke resultaat indien toestand ${\theta }_j$ intreedt.

   b) Bereken de elementen van de spijt­matrix $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   Element $r_{ij}$ geeft aan hoeveel de uitbetaling van strategie $s_i$ kleiner is dan de maximaal mogelijke bij toestand ${\theta }_j$. Alle elementen $r_{ij}\ge 0$.

1. Bepaling van het maximale spijt voor elke strategie: Voor elke strategie $s_i$ (elke rij van de spijt­matrix $R$) wordt de slechtst mogelijke uitkomst vanuit het oogpunt van spijt bepaald:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Keuze van de strategie met het minimale maximale spijt (minimax-spijt­principe): De strategie $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ wordt gekozen die het gevonden maximale spijt minimaliseert:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Of, door de uitdrukking voor $r_{ij}$ in te vullen:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

De minimale waarde van het maximale spijt die wordt bereikt bij toepassing van het criterium van Savage is gelijk aan: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Het criterium van Savage is dus gericht op het kiezen van de strategie die de kleinste verliezen garandeert ten opzichte van de best mogelijke actie voor elke toestand van de natuur.

Belangrijke punten in de wiskundige formulering:

• Definitie van spijt $r_{ij}$: Dit is het centrale begrip. Het is belangrijk aan te tonen dat het wordt berekend als het verschil tussen de beste uitkomst in kolom j en de huidige uitkomst a_{ij}.
• Spijt­matrix $R$: Er is expliciet aangegeven hoe deze wordt opgesteld.
• Bepaling van $r_i^{max}$: De zoekopdracht naar het maximum in elke rij van de spijt­matrix is weergegeven.
• Minimax-principe: De strategiekeuze via $\arg min$ van $max$ spijten is duidelijk geformuleerd.
• Gebruikte notaties: Standaard voor speltheorie en besluitvorming (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Voordelen en nadelen

Voordelen:

• Gericht op het minimaliseren van risico's.
• Bijzonder effectief onder hoge onzekerheid.

Nadelen:

• Negeert de verwachte winst en concentreert zich uitsluitend op mogelijke verliezen.
• Kan leiden tot buitensporig conservatieve beslissingen.

Besluitvormings­criteria

• Criterium van Hurwicz
• Criterium van Laplace
• Criterium van Wald