Criteriul Wald

Criteriul Wald — una dintre metodele fundamentale de luare a deciziilor în condiții de incertitudine. Se bazează pe principiul pesimismului extrem și vizează alegerea strategiei care asigură cel mai bun rezultat în cel mai nefavorabil scenariu posibil.

Esența criteriului

Criteriul presupune că persoana care ia decizia se orientează după cel mai nefavorabil rezultat pentru fiecare strategie. Pentru fiecare alternativă se determină cel mai rău rezultat posibil al acesteia. Dintre toate strategiile se alege cea al cărei cel mai rău rezultat este cel mai bun dintre toate.

Cu alte cuvinte, criteriul Wald urmărește minimizarea pierderilor maxime și oferă cea mai mare protecție împotriva condițiilor nefavorabile.

Aplicarea criteriului

Procesul de aplicare include următorii pași:

1. Pentru fiecare strategie se determină cel mai rău rezultat posibil.
2. Se compară cele mai rele rezultate ale tuturor strategiilor.
3. Se alege strategia cu cel mai bun dintre cele mai rele rezultate.

Această abordare este caracteristică persoanelor extrem de prudente, care urmăresc minimizarea riscurilor indiferent de probabilitatea producerii diferitelor rezultate.

Formularea matematică

Fie date:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — mulțimea strategiilor disponibile (alternative), din care persoana care ia decizia (PTD) face alegerea.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — mulțimea stărilor posibile ale naturii (condiții externe, scenarii), independente de alegerea PTD.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funcția de câștig (utilitate), reprezentând evaluarea numerică a rezultatului la alegerea strategiei $s_i\in S$ și producerea stării naturii ${\theta }_j\in \Theta$. Este adesea reprezentată sub forma unei matrice de plăți $A=[a_{ij}]$, unde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Criteriul Wald (sau criteriul maximinului) prescrie următoarea ordine de acțiuni:

1. Găsirea câștigului minim pentru fiecare strategie: Pentru fiecare strategie $s_i$ se determină cel mai rău rezultat posibil al acesteia (câștigul minim) față de toate stările posibile ale naturii:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. Alegerea strategiei cu câștigul maxim dintre câștigurile minime: Se alege acea strategie $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ care asigură valoarea maximă dintre câștigurile minime găsite:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Nivelul garantat (minim) al câștigului la utilizarea criteriului Wald este egal cu: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Astfel, criteriul Wald implementează principiul maximinului — maximizarea câștigului minim. Este orientat spre o perspectivă pesimistă, presupunând că indiferent de decizia luată, natura va răspunde în modul cel mai puțin favorabil pentru PTD.

Observație privind funcția de pierderi

Dacă în locul funcției de câștig $u(s_i,{\theta }_j)$ se utilizează funcția de pierderi $L(s_i,{\theta }_j)$, care trebuie minimizată, atunci criteriul Wald se transformă în criteriul minimaxului pierderilor:

1. Pentru fiecare strategie $s_i$ se găsește valoarea maximă a pierderilor: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. Se alege strategia care minimizează aceste pierderi maxime: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

Avantaje și dezavantaje

Avantaje:

• Simplitatea și claritatea metodei.
• Asigurarea unui grad ridicat de securitate a deciziilor în condiții de incertitudine totală.

Dezavantaje:

• Pesimism excesiv: câștigurile potențial mari sunt ignorate în favoarea minimizării pierderilor.
• Poate conduce la alegerea unor strategii excesiv de conservatoare.