Criteriul Savage

Criteriul Savage (cunoscut și ca criteriul minimului regretului) — una dintre metodele de luare a deciziilor în condiții de incertitudine. Se aplică în situații în care probabilitățile diferitelor rezultate sunt necunoscute, iar scopul este minimizarea pierderilor potențiale cauzate de adoptarea unei decizii suboptime.

Caracterizare generală

În condiții de incertitudine, consecințele alegerii fiecărei strategii nu sunt determinate cu precizie. Pentru evaluarea alternativelor posibile se utilizează o serie de criterii, precum criteriile Wald, Hurwicz, Laplace și Savage. Criteriul Savage nu este orientat spre obținerea profitului maxim, ci spre minimizarea regretului maxim (a pierderilor față de cel mai bun rezultat posibil).

Regretul este o mărime care reflectă câștigul ratat din cauza alegerii unei strategii neoptimale pentru un anumit rezultat.

Algoritmul de aplicare a criteriului Savage

• Constituirea matricei de plăți: Se construiește un tabel ale cărui rânduri corespund strategiilor posibile, iar coloanele — rezultatelor posibile ale evenimentelor. La intersecție se înscrie rezultatul așteptat pentru o strategie și un rezultat specific.
• Construirea matricei regretelor (matricei riscurilor): Pentru fiecare rezultat (coloană) se determină valoarea maximă a câștigului. Apoi, pentru fiecare celulă se calculează valoarea regretului:
• Determinarea regretelor maxime pentru fiecare strategie: În fiecare rând al matricei regretelor se selectează valoarea maximă (cel mai nefavorabil caz pentru strategia respectivă).
• Alegerea strategiei optime: Se alege strategia pentru care regretul maxim este minim.

Astfel, criteriul Savage implementează principiul minimizării pierderii posibile cauzate de o decizie greșită.

Formulare matematică

Fie date:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — mulțimea strategiilor (alternativelor) disponibile.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — mulțimea stărilor posibile ale naturii.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funcția de câștig (utilitate) la alegerea strategiei $s_i$ și survenirea stării ${\theta }_j$. Este adesea reprezentată prin matricea de plăți $A=[a_{ij}]$, unde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Criteriul Savage se bazează pe conceptul de regret (regret) sau câștig ratat. Regretul $r(s_i,{\theta }_j)$ pentru strategia $s_i$ în starea naturii ${\theta }_j$ este definit ca diferența dintre câștigul maxim posibil care ar fi putut fi obținut în acea stare a naturii ${\theta }_j$ (dacă ar fi fost aleasă strategia optimă pentru acea stare) și câștigul efectiv al strategiei $s_i$.

Algoritmul de aplicare a criteriului Savage:

1. Calculul matricei regretelor (riscurilor):

   a) Găsirea câștigului maxim pentru fiecare stare a naturii (fiecare coloană a matricei de plăți):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Acesta este cel mai bun rezultat posibil dacă survine starea ${\theta }_j$.

   b) Calculul elementelor matricei regretelor $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   Elementul $r_{ij}$ arată cu cât câștigul strategiei $s_i$ este mai mic decât maximul posibil în starea ${\theta }_j$. Toate elementele $r_{ij}\ge 0$.

1. Găsirea regretului maxim pentru fiecare strategie: Pentru fiecare strategie $s_i$ (fiecare rând al matricei regretelor $R$) se determină cel mai nefavorabil rezultat posibil din perspectiva regretului:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Alegerea strategiei cu regretul maxim minim (principiul minimax al regretelor): Se alege acea strategie $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ care minimizează regretul maxim determinat:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Sau, substituind expresia pentru $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Valoarea minimă a regretului maxim, atinsă prin aplicarea criteriului Savage, este egală cu: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Astfel, criteriul Savage este orientat spre alegerea strategiei care garantează cele mai mici pierderi față de cea mai bună acțiune posibilă pentru fiecare stare a naturii.

Aspectele-cheie ale formulării matematice:

• Definiția regretului $r_{ij}$: Acesta este conceptul central. Este important să se arate că se calculează ca diferența dintre cel mai bun rezultat din coloana j și rezultatul curent a_{ij}.
• Matricea regretelor $R$: Este indicat explicit modul în care se construiește.
• Găsirea $r_i^{max}$: Este prezentat modul de căutare a maximului în fiecare rând al matricei regretelor.
• Principiul minimax: Alegerea strategiei prin $\arg min$ din $max$ regrete este formulată clar.
• Notații utilizate: Standard pentru teoria jocurilor și teoria deciziei (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Avantaje și dezavantaje

Avantaje:

• Este orientat spre minimizarea riscurilor.
• Este deosebit de eficient în condiții de incertitudine ridicată.

Dezavantaje:

• Ignoră profitul așteptat, concentrându-se exclusiv pe pierderile posibile.
• Poate conduce la decizii excesiv de conservatoare.

Criterii de luare a deciziilor

• Criteriul Hurwicz
• Criteriul Laplace
• Criteriul Wald