Criteriul Hurwicz

Criteriul Hurwicz — una dintre metodele de luare a deciziilor în condiții de incertitudine, care propune o abordare echilibrată între optimismul extrem și pesimismul extrem.

Esența criteriului

La alegerea unei strategii într-o situație în care rezultatul evenimentelor este necunoscut, criteriul Hurwicz propune să se ia în considerare simultan:

• cel mai nefavorabil rezultat posibil (abordare pesimistă),
• cel mai favorabil rezultat posibil (abordare optimistă).

În acest scop se utilizează un parametru special — coeficientul de optimism, care ia valori de la zero la unu. Cu cât coeficientul este mai aproape de unu, cu atât mai multă atenție se acordă celor mai bune rezultate; cu cât este mai aproape de zero, cu atât sunt mai mult luate în considerare cele mai nefavorabile rezultate posibile.

Formularea matematică

Fie date:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — mulțimea strategiilor (alternativelor) disponibile.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — mulțimea stărilor posibile ale naturii.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funcția de câștig (utilitate) la alegerea strategiei $s_i$ și apariția stării ${\theta }_j$. Este adesea reprezentată printr-o matrice de plăți $A=[a_{ij}]$, unde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Criteriul Hurwicz introduce coeficientul de optimism $\alpha$ (alfa), care este ales de către factorul de decizie (FD) în intervalul $0\le \alpha \le 1$. Acest coeficient reflectă gradul de optimism al FD:

• $\alpha =1$ corespunde optimismului complet (se ia în considerare doar cel mai favorabil rezultat posibil).
• $\alpha =0$ corespunde pesimismului complet (se ia în considerare doar cel mai nefavorabil rezultat posibil; criteriul se reduce la criteriul Wald).
• Valoarea $(1-\alpha )$ poate fi interpretată ca coeficient de pesimism.

Procedura de aplicare a criteriului Hurwicz:

1. Determinarea câștigului minim și maxim pentru fiecare strategie: Pentru fiecare strategie $s_i\in S$ se determină:

   **Rezultatul cel mai nefavorabil (câștigul minim):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **Rezultatul cel mai favorabil (câștigul maxim):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. Calculul valorii criteriului Hurwicz pentru fiecare strategie: Pentru fiecare strategie $s_i$ se calculează o valoare ponderată, care combină cel mai bun și cel mai rău rezultat ținând cont de coeficientul de optimism $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Această valoare reprezintă câștigul așteptat al strategiei $s_i$ conform preferințelor FD, exprimate prin $\alpha$.

1. Alegerea strategiei optime: Se alege acea strategie $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ care maximizează valoarea calculată a criteriului Hurwicz:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

Valoarea optimă a criteriului Hurwicz (nivelul garantat cu luarea în considerare a optimismului $\alpha$) este egală cu: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Observație privind funcția de pierdere

Dacă se utilizează o funcție de pierdere $L(s_i,{\theta }_j)$, care trebuie minimizată, atunci criteriul Hurwicz se aplică pentru minimizarea combinației ponderate a celui mai favorabil (pierderi minime) și celui mai nefavorabil (pierderi maxime) rezultat:

1. Pentru fiecare strategie $s_i$ se determină pierderile minime $L_i^{min}$ și maxime $L_i^{max}$.
2. Se calculează valoarea: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. Se alege strategia care minimizează această valoare: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Aici $\alpha$ este în continuare coeficientul de optimism: la $\alpha =1$ FD se concentrează pe minimizarea pierderilor minime (speră în mod optimist la cel mai bun rezultat), la $\alpha =0$ — pe minimizarea pierderilor maxime (se pregătește pesimist pentru cel mai rău caz).

Aplicarea criteriului

Procesul de aplicare a criteriului Hurwicz include următorii pași:

1. Se determină rezultatele minim și maxim pentru fiecare strategie posibilă.
2. Pentru fiecare strategie se calculează o evaluare finală, care reprezintă o valoare ponderată între cel mai rău și cel mai bun rezultat al acesteia, în funcție de nivelul de optimism ales.
3. Se alege acea strategie care are evaluarea finală maximă.

Astfel, factorul de decizie alege strategia care ține cont cel mai bine de propria sa atitudine față de risc și incertitudine.

Avantaje și dezavantaje

Avantaje:

• Permite adaptarea procesului de alegere în funcție de caracterul și preferințele factorului de decizie.
• Ține cont atât de risc, cât și de beneficiile potențiale.

Dezavantaje:

• Necesită alegerea subiectivă a coeficientului de optimism, ceea ce poate afecta obiectivitatea deciziei.