Criterio di Wald

Il criterio di Wald è uno dei principali metodi di decisione in condizioni di incertezza. Si basa sul principio del pessimismo estremo ed è orientato alla scelta della strategia che garantisce il miglior risultato nel peggior scenario possibile.

Essenza del criterio

Il criterio presuppone che il decisore si orienti verso l'esito più sfavorevole per ciascuna strategia. Per ogni alternativa viene determinato il suo peggior risultato possibile. Tra tutte le strategie viene scelta quella il cui peggior risultato è il migliore tra tutti.

In altre parole, il criterio di Wald è orientato alla minimizzazione delle perdite massime e garantisce la massima protezione dalle condizioni sfavorevoli.

Applicazione del criterio

Il processo di applicazione comprende i seguenti passi:

1. Per ogni strategia viene determinato il peggior risultato possibile.
2. Vengono confrontati i peggiori risultati di tutte le strategie.
3. Viene scelta la strategia con il miglior risultato tra i peggiori esiti.

Questo approccio è caratteristico dei decisori estremamente cauti, che mirano a minimizzare i rischi indipendentemente dalla probabilità del verificarsi dei vari esiti.

Formulazione matematica

Siano dati:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — l'insieme delle strategie (alternative) disponibili, tra cui sceglie il decisore (D).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — l'insieme dei possibili stati della natura (condizioni esterne, scenari), indipendenti dalla scelta del decisore.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — la funzione di guadagno (utilità), che rappresenta la valutazione numerica del risultato quando si sceglie la strategia $s_i\in S$ e si verifica lo stato della natura ${\theta }_j\in \Theta$. Viene spesso rappresentata sotto forma di matrice dei pagamenti $A=[a_{ij}]$, dove $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Il criterio di Wald (o criterio del maximin) prescrive il seguente ordine di azioni:

1. Determinazione del guadagno minimo per ciascuna strategia: Per ogni strategia $s_i$ viene determinato il suo peggior esito possibile (guadagno minimo) su tutti i possibili stati della natura:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. Scelta della strategia con il massimo dei minimi guadagni: Viene scelta la strategia $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ che assicura il valore più elevato tra i minimi guadagni trovati:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Il livello di guadagno garantito (minimo) quando si utilizza il criterio di Wald è uguale a: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

In questo modo, il criterio di Wald realizza il principio del maximin — la massimizzazione del guadagno minimo. È orientato a una visione pessimistica, presupponendo che qualunque decisione venga presa, la natura risponda nel modo meno favorevole per il decisore.

Osservazione sulla funzione di perdita

Se al posto della funzione di guadagno $u(s_i,{\theta }_j)$ viene utilizzata la funzione di perdita $L(s_i,{\theta }_j)$, da minimizzare, allora il criterio di Wald si trasforma nel criterio del minimax delle perdite:

1. Per ogni strategia $s_i$ viene trovato il valore massimo delle perdite: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. Viene scelta la strategia che minimizza queste perdite massime: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

Vantaggi e svantaggi

Vantaggi:

• Semplicità e chiarezza del metodo.
• Garanzia di un elevato grado di sicurezza delle decisioni in condizioni di completa incertezza.

Svantaggi:

• Eccessivo pessimismo: i possibili guadagni elevati vengono ignorati a favore della minimizzazione delle perdite.
• Può portare alla scelta di strategie eccessivamente conservative.