Criterio di Savage

Criterio di Savage (noto anche come criterio del rimpianto minimo) — uno dei metodi di decision making in condizioni di incertezza. Viene applicato nelle situazioni in cui le probabilità dei vari esiti sono sconosciute e l'obiettivo è minimizzare le potenziali perdite derivanti dall'adozione di una decisione non ottimale.

Caratteristica generale

In condizioni di incertezza, le conseguenze della scelta di ciascuna strategia non sono determinate con precisione. Per valutare le possibili alternative si utilizzano diversi criteri, come i criteri di Wald, Hurwicz, Laplace e Savage. Il criterio di Savage è orientato non al raggiungimento del profitto massimo, ma alla minimizzazione del rimpianto massimo (delle perdite rispetto al migliore risultato possibile).

Il rimpianto è una grandezza che riflette il mancato guadagno dovuto al fatto che non è stata scelta la strategia ottimale per un dato esito.

Algoritmo di applicazione del criterio di Savage

• Formazione della matrice dei payoff: Si costruisce una tabella le cui righe corrispondono alle possibili strategie e le colonne ai possibili esiti degli eventi. All'intersezione viene riportato il risultato atteso per una specifica strategia ed esito.
• Costruzione della matrice dei rimpianti (matrice dei rischi): Per ciascun esito (colonna) si determina il valore massimo del guadagno. Successivamente, per ciascuna cella viene calcolata la grandezza del rimpianto:
• Determinazione dei rimpianti massimi per ciascuna strategia: In ciascuna riga della matrice dei rimpianti viene selezionato il valore massimo (il caso peggiore per quella strategia).
• Scelta della strategia ottimale: Viene scelta la strategia per la quale il rimpianto massimo è minimo.

In questo modo, il criterio di Savage realizza il principio di minimizzazione della possibile perdita derivante da una decisione errata.

Formulazione matematica

Siano dati:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — insieme delle strategie disponibili (alternative).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — insieme dei possibili stati della natura.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funzione di guadagno (utilità) nella scelta della strategia $s_i$ e al verificarsi dello stato ${\theta }_j$. Viene spesso rappresentata dalla matrice dei payoff $A=[a_{ij}]$, dove $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Il criterio di Savage si basa sul concetto di rimpianto (regret) o mancato guadagno. Il rimpianto $r(s_i,{\theta }_j)$ per la strategia $s_i$ nello stato della natura ${\theta }_j$ è definito come la differenza tra il massimo guadagno possibile che avrebbe potuto essere ottenuto in quello stato della natura ${\theta }_j$ (se fosse stata scelta la strategia migliore per quello stato) e il guadagno effettivo dalla strategia $s_i$.

Algoritmo di applicazione del criterio di Savage:

1. Calcolo della matrice dei rimpianti (rischi):

   a) Trovare il guadagno massimo per ciascuno stato della natura (ciascuna colonna della matrice dei payoff):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Questo è il migliore risultato possibile se si verifica lo stato ${\theta }_j$.

   b) Calcolare gli elementi della matrice dei rimpianti $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   L'elemento $r_{ij}$ mostra di quanto il guadagno dalla strategia $s_i$ è inferiore al massimo possibile nello stato ${\theta }_j$. Tutti gli elementi $r_{ij}\ge 0$.

1. Determinazione del rimpianto massimo per ciascuna strategia: Per ciascuna strategia $s_i$ (ciascuna riga della matrice dei rimpianti $R$) si determina il suo esito peggiore possibile dal punto di vista del rimpianto:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Scelta della strategia con il rimpianto massimo minimo (principio del minimax dei rimpianti): Si sceglie la strategia $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ che minimizza il rimpianto massimo trovato:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Oppure, sostituendo l'espressione per $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Il valore minimo del rimpianto massimo, raggiunto applicando il criterio di Savage, è uguale a: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

In questo modo, il criterio di Savage è orientato alla scelta della strategia che garantisce le minori perdite rispetto alla migliore azione possibile per ciascuno stato della natura.

Punti chiave nella formulazione matematica:

• Definizione del rimpianto $r_{ij}$: È il concetto centrale. È importante mostrare che viene calcolato come differenza tra il migliore esito nella colonna j e l'esito corrente a_{ij}.
• Matrice dei rimpianti $R$: È indicato esplicitamente come viene costruita.
• Determinazione di $r_i^{max}$: Viene mostrata la ricerca del massimo in ciascuna riga della matrice dei rimpianti.
• Principio del minimax: La scelta della strategia tramite $\arg min$ di $max$ rimpianti è formulata chiaramente.
• Notazioni utilizzate: Standard per la teoria dei giochi e il decision making (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Vantaggi e svantaggi

Vantaggi:

• Orientato alla minimizzazione dei rischi.
• Particolarmente efficace in condizioni di elevata incertezza.

Svantaggi:

• Ignora il profitto atteso, concentrandosi esclusivamente sulle possibili perdite.
• Può portare a decisioni eccessivamente conservative.

Criteri di decision making

• Criterio di Hurwicz
• Criterio di Laplace
• Criterio di Wald