Criterio di Hurwicz

Il criterio di Hurwicz è uno dei metodi di decision making in condizioni di incertezza, che propone un approccio equilibrato tra l'ottimismo estremo e il pessimismo estremo.

Essenza del criterio

Nella scelta di una strategia in una situazione in cui l'esito degli eventi è sconosciuto, il criterio di Hurwicz propone di considerare contemporaneamente:

• il peggior risultato possibile (approccio pessimistico),
• il miglior risultato possibile (approccio ottimistico).

A tale scopo viene utilizzato un parametro speciale — il coefficiente di ottimismo, che assume un valore compreso tra zero e uno. Più il coefficiente è vicino a uno, maggiore è l'attenzione dedicata ai migliori esiti; più è vicino a zero, maggiore è il peso attribuito ai peggiori risultati possibili.

Formulazione matematica

Siano dati:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — l'insieme delle strategie disponibili (alternative).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — l'insieme dei possibili stati della natura.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — la funzione di guadagno (utilità) nella scelta della strategia $s_i$ e nel verificarsi dello stato ${\theta }_j$. Viene spesso rappresentata dalla matrice dei payoff $A=[a_{ij}]$, dove $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Il criterio di Hurwicz introduce il coefficiente di ottimismo $\alpha$ (alfa), scelto dal decisore (DM) nell'intervallo $0\le \alpha \le 1$. Questo coefficiente riflette il grado di ottimismo del DM:

• $\alpha =1$ corrisponde all'ottimismo totale (viene considerato solo il miglior esito possibile).
• $\alpha =0$ corrisponde al pessimismo totale (viene considerato solo il peggior esito possibile; il criterio si riduce al criterio di Wald).
• Il valore $(1-\alpha )$ può essere interpretato come coefficiente di pessimismo.

Procedura di applicazione del criterio di Hurwicz:

1. Individuazione del guadagno minimo e massimo per ciascuna strategia: Per ogni strategia $s_i\in S$ vengono determinati:

   **Esito peggiore (guadagno minimo):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **Esito migliore (guadagno massimo):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. Calcolo del valore del criterio di Hurwicz per ciascuna strategia: Per ogni strategia $s_i$ viene calcolato un valore ponderato che combina il miglior e il peggior esito in base al coefficiente di ottimismo $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Questo valore rappresenta il guadagno atteso della strategia $s_i$ secondo le preferenze del DM espresse tramite $\alpha$.

1. Scelta della strategia ottimale: Viene scelta la strategia $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ che massimizza il valore calcolato del criterio di Hurwicz:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

Il valore ottimale del criterio di Hurwicz (livello garantito tenendo conto dell'ottimismo $\alpha$) è pari a: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Osservazione sulla funzione di perdita

Se viene utilizzata la funzione di perdita $L(s_i,{\theta }_j)$, da minimizzare, il criterio di Hurwicz viene applicato per minimizzare la combinazione ponderata del miglior esito (perdite minime) e del peggior esito (perdite massime):

1. Per ogni strategia $s_i$ vengono individuate le perdite minime $L_i^{min}$ e massime $L_i^{max}$.
2. Viene calcolato il valore: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. Viene scelta la strategia che minimizza tale valore: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Qui $\alpha$ è ancora il coefficiente di ottimismo: quando $\alpha =1$ il DM si concentra sulla minimizzazione delle perdite minime (si aspetta ottimisticamente il miglior esito), quando $\alpha =0$ — sulla minimizzazione delle perdite massime (si prepara pessimisticamente al caso peggiore).

Applicazione del criterio

Il processo di applicazione del criterio di Hurwicz prevede i seguenti passaggi:

1. Vengono determinati il risultato minimo e massimo per ciascuna strategia possibile.
2. Per ciascuna strategia viene calcolata una valutazione complessiva, che rappresenta il valore ponderato tra il suo esito peggiore e il migliore, in funzione del livello di ottimismo scelto.
3. Viene scelta la strategia con la valutazione complessiva massima.

In questo modo, il decisore sceglie la strategia che meglio tiene conto del proprio atteggiamento nei confronti del rischio e dell'incertezza.

Vantaggi e svantaggi

Vantaggi:

• Consente di adattare il processo di scelta in base al carattere e alle preferenze del decisore.
• Tiene conto sia del rischio sia dei potenziali benefici.

Svantaggi:

• Richiede una scelta soggettiva del coefficiente di ottimismo, il che può influire sull'obiettività della decisione.