Criterio de Hurwicz (PT)

O Critério de Hurwicz é um dos métodos de tomada de decisão em condições de incerteza, que propõe uma abordagem equilibrada entre o otimismo extremo и o pessimismo extremo.

Essência do critério

Ao escolher uma estratégia em uma situação em que o resultado dos eventos é desconhecido, o critério de Hurwicz propõe considerar simultaneamente:

• o pior resultado possível (abordagem pessimista),
• o melhor resultado possível (abordagem otimista).

Para isso, utiliza-se um parâmetro especial — o coeficiente de otimismo, que assume um valor de zero a um. Quanto mais próximo o coeficiente estiver de um, mais atenção é dada aos melhores resultados; quanto mais próximo estiver de zero, mais os piores resultados possíveis são considerados.

Formulação matemática

Sejam dados:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — o conjunto de estratégias (alternativas) disponíveis.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — o conjunto de possíveis estados da natureza.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — a função de ganho (utilidade) ao escolher a estratégia $s_i$ e ocorrer o estado ${\theta }_j$. Frequentemente, é representada por uma matriz de payoff $A=[a_{ij}]$, onde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

O critério de Hurwicz introduz o coeficiente de otimismo $\alpha$ (alfa), que é escolhido pelo tomador de decisão (TD), no intervalo $0\le \alpha \le 1$. Este coeficiente reflete o grau de otimismo do TD:

• $\alpha =1$ corresponde ao otimismo total (considera-se apenas o melhor resultado possível).
• $\alpha =0$ corresponde ao pessimismo total (considera-se apenas o pior resultado possível, e o critério se reduz ao critério de Wald).
• O valor $(1-\alpha )$ pode ser interpretado como o coeficiente de pessimismo.

O procedimento para aplicar o critério de Hurwicz é o seguinte:

1. Encontrar o ganho mínimo e máximo para cada estratégia: Para cada estratégia $s_i\in S$, são determinados:

   **Pior resultado (ganho mínimo):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **Melhor resultado (ganho máximo):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. Cálculo do valor do critério de Hurwicz para cada estratégia: Para cada estratégia $s_i$, calcula-se um valor ponderado que combina os melhores e piores resultados, levando em conta o coeficiente de otimismo $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Este valor representa o ganho esperado da estratégia $s_i$ de acordo com as preferências do tomador de decisão, expressas por meio de $\alpha$.

1. Seleção da estratégia ótima: Escolhe-se a estratégia $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ que maximiza o valor calculado do critério de Hurwicz:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

O valor ótimo do critério de Hurwicz (nível garantido considerando o otimismo $\alpha$) é igual a: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Observação sobre a função de perda

Se for utilizada uma função de perda $L(s_i,{\theta }_j)$, que deve ser minimizada, o critério de Hurwicz é aplicado para minimizar a combinação ponderada do melhor (perdas mínimas) e do pior (perdas máximas) resultados:

1. Para cada estratégia $s_i$, encontram-se as perdas mínimas $L_i^{min}$ e máximas $L_i^{max}$.
2. Calcula-se o valor: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. Escolhe-se a estratégia que minimiza este valor: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Aqui, $\alpha$ ainda é o coeficiente de otimismo: com $\alpha =1$, o tomador de decisão foca em minimizar as perdas mínimas (esperando otimistamente pelo melhor resultado), e com $\alpha =0$, foca em minimizar as perdas máximas (preparando-se pessimisticamente para o pior).

Aplicação do critério

O processo de aplicação do critério de Hurwicz inclui os seguintes passos:

1. Determinam-se os resultados mínimo e máximo para cada estratégia possível.
2. Para cada estratégia, calcula-se uma pontuação final, que é um valor ponderado entre seus piores e melhores resultados, dependendo do nível de otimismo escolhido.
3. Escolhe-se a estratégia com a pontuação final máxima.

Dessa forma, o tomador de decisão escolhe a estratégia que melhor reflete sua própria atitude em relação ao risco и à incerteza.

Vantagens e desvantagens

Vantagens:

• Permite adaptar o processo de escolha de acordo com a natureza e as preferências do tomador de decisão.
• Leva em consideração tanto o risco quanto os benefícios potenciais.

Desvantagens:

• Exige a escolha subjetiva do coeficiente de otimismo, o que pode afetar a objetividade da decisão.