Critère de Savage

Le critère de Savage (également connu sous le nom de critère du regret minimax) est une des méthodes de prise de décision en situation d'incertitude. Il est appliqué dans des situations où les probabilités des différents résultats sont inconnues, et l'objectif est de minimiser les pertes potentielles résultant d'une décision non optimale.

Caractéristiques générales

En situation d'incertitude, les conséquences du choix de chaque stratégie ne sont pas définies avec précision. Pour évaluer les alternatives possibles, plusieurs critères sont utilisés, tels que les critères de Wald, d'Hurwicz, de Laplace et de Savage. Le critère de Savage ne vise pas à maximiser le gain, mais à minimiser le regret maximum (la perte par rapport au meilleur résultat possible).

Le regret est une valeur qui représente le manque à gagner dû au choix d'une stratégie non optimale pour un résultat donné.

Algorithme d'application du critère de Savage

• Construction de la matrice des gains : On construit un tableau où les lignes correspondent aux stratégies possibles et les colonnes aux états de la nature (résultats possibles). À l'intersection, on inscrit le résultat attendu pour une stratégie et un état donnés.
• Construction de la matrice des regrets (matrice des risques) : Pour chaque état de la nature (colonne), on détermine la valeur maximale du gain. Ensuite, pour chaque cellule, on calcule la valeur du regret.
• Détermination des regrets maximums pour chaque stratégie : Dans chaque ligne de la matrice des regrets, on sélectionne la valeur maximale (le pire cas pour cette stratégie).
• Choix de la stratégie optimale : On choisit la stratégie pour laquelle le regret maximum est minimal.

Ainsi, le critère de Savage met en œuvre le principe de minimisation de la perte potentielle résultant d'une mauvaise décision.

Formulation mathématique

Soient :

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — l'ensemble des stratégies (alternatives) disponibles.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — l'ensemble des états de la nature possibles.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — la fonction de gain (utilité) pour le choix de la stratégie $s_i$ lorsque l'état de la nature ${\theta }_j$ se réalise. Elle est souvent représentée par une matrice des gains $A=[a_{ij}]$, où $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Le critère de Savage est basé sur la notion de regret (en anglais, regret) ou de manque à gagner. Le regret $r(s_i,{\theta }_j)$ pour la stratégie $s_i$ sous l'état de la nature ${\theta }_j$ est défini comme la différence entre le gain maximal qui aurait pu être obtenu sous cet état de la nature ${\theta }_j$ (si la meilleure stratégie pour cet état avait été choisie) et le gain réel de la stratégie $s_i$.

L'algorithme d'application du critère de Savage est le suivant :

1. Calcul de la matrice des regrets (risques) :

   a) Trouver le gain maximal pour chaque état de la nature (chaque colonne de la matrice des gains) :

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   C'est le meilleur résultat possible si l'état ${\theta }_j$ se réalise.

   b) Calculer les éléments de la matrice des regrets $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   L'élément $r_{ij}$ indique de combien le gain de la stratégie $s_i$ est inférieur au gain maximal possible sous l'état ${\theta }_j$. Tous les éléments $r_{ij}\ge 0$.

1. Trouver le regret maximum pour chaque stratégie : Pour chaque stratégie $s_i$ (chaque ligne de la matrice des regrets $R$), on détermine son pire résultat possible en termes de regret :

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Choix de la stratégie avec le regret maximum minimal (principe du minimax regret) : On choisit la stratégie $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ qui minimise le regret maximum trouvé :

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Ou, en substituant l'expression de $r_{ij}$ :

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

La valeur minimale du regret maximum, obtenue en utilisant le critère de Savage, est égale à : $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Ainsi, le critère de Savage vise à choisir la stratégie qui garantit les pertes les plus faibles par rapport à la meilleure action possible pour chaque état de la nature.

Points clés de la formulation mathématique :

• Définition du regret $r_{ij}$ : C'est le concept central. Il est important de montrer qu'il est calculé comme la différence entre le meilleur résultat de la colonne j et le résultat actuel a_{ij}.
• Matrice des regrets $R$ : Il est explicitement indiqué comment elle est construite.
• Recherche de $r_i^{max}$ : La recherche du maximum dans chaque ligne de la matrice des regrets est montrée.
• Principe du minimax : Le choix de la stratégie est clairement formulé via $\arg min$ du $max$ des regrets.
• Notations utilisées : Standard pour la théorie des jeux et la théorie de la décision (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Avantages et inconvénients

Avantages :

• Orienté vers la minimisation des risques.
• Particulièrement efficace en situation de grande incertitude.

Inconvénients :

• Ignore le gain attendu, se concentrant uniquement sur les pertes possibles.
• Peut conduire à des décisions excessivement prudentes.

Critères de décision

• Critère d'Hurwicz
• Critère de Laplace
• Critère de Wald