Теория на полезността

Теория на полезността — това е направление в теорията за вземане на решения, което изучава количественото изразяване на предпочитанията на лицето, вземащо решения (ЛВР), с цел разкриване на най-добрите алтернативи в условия на определеност, неопределеност или риск. Тя се основава на изграждането на числова функция, наречена функция на полезността, която отразява субективната ценност на възможните изходи от избора.

Обща характеристика

Теорията на полезността се опира на представата за рационален избор, при който ЛВР се стреми да максимизира субективната полезност на резултата. Тази функция може да бъде:

• функция на ценността — в условия на пълна определеност;
• функция на полезността — в условия на вероятностна неопределеност.

На всяка алтернатива се съпоставя числова стойност, отразяваща нейната относителна желаност за ЛВР. Сравнението на стойностите на функцията позволява да се наредят вариантите и да се избере най-предпочитаният.

Аксиоматичен подход

Функцията на полезността се въвежда на основата на система от аксиоми, отразяващи изискванията към рационалното поведение. Класическата аксиоматика включва:

• аксиома за пълна сравнимост — всеки два варианта могат да бъдат сравнени;
• аксиома за транзитивност — предпочитанията между вариантите са логически съгласувани;
• аксиома за непрекъснатост — между всеки два варианта може да се намери лотария, еквивалентна на трети;
• аксиома за независимост — предпочитанието между вариантите се запазва при включването им в съставни лотарии​.

Изпълнението на тези условия позволява да се изгради числова функция на полезността, инвариантна спрямо линейни преобразования, което означава възможността за използването ѝ в скала на интервалите​.

Видове функции на полезността

1. Линейна функция на полезността

Линейната форма се използва, когато:

• изходите са изразени в една числова скала (например парични стойности),
• предпочитанията на ЛВР притежават постоянна пределна полезност,
• липсва взаимодействие между критериалните характеристики.

2. Изпъкнала и вдлъбната функции на полезността

• Вдлъбнатата функция отразява неприязън към риска (риск-аверсия): полезността нараства с увеличаването на стойностите, но с намаляваща възвращаемост.

• Изпъкналата функция — признак на склонност към риск (риск-пристрастност): ЛВР предпочита потенциално по-печелившите, но по-малко надеждни варианти.

Формата на функцията на полезността дава възможност да се отчита отношението на ЛВР към неопределеността при избор между надеждни и рискови алтернативи.

3. Стъпаловидна (дискретна) функция на полезността

Използва се, когато предпочитанията се изразяват по качествени скали или в ситуации с ограничен брой дискретни изходи (например одобрение/неодобрение, нива на качество). При такава функция на всяка алтернатива се приписва фиксирана стойност на полезността без отчитане на междинни градации. Стъпаловидните функции се прилагат във вербални методи, експертни системи и логико-лингвистични модели на избор.

4. Адитивна функция на полезността (MAUT)

Използва се в задачи за многокритериален избор, когато предпочитанията по всеки критерий са независими. Общата полезност се представя като сума от частните полезности по всеки критерий, умножени по теглови коефициенти.

5. Мултипликативна функция на полезността

Използва се, ако между критериите съществуват взаимодействия (например един критерий засилва или отслабва значимостта на друг).

6. Функции на полезността върху вероятностни пространства

Прилагат се в задачи за вземане на решения при риск. На всеки изход се приписва не само стойност на резултата, но и вероятност за настъпването му. Функцията на полезността се използва за изчисляване на очакваната полезност — математическото очакване на субективната ценност на резултата.

Теория на едномерната и многомерната полезност

При едномерния модел полезността се определя за всеки вариант като цяло.

При многомерния модел (MAUT — Multi-Attribute Utility Theory) се вземат предвид частните оценки по няколко критерия. Общата полезност се формира на основата на:

• адитивен модел, ако предпочитанията по критериите са независими;
• мултипликативен модел, ако съществува взаимодействие между критериите​.

Пример: полезността на решението може да зависи едновременно от времето, разходите и риска; в такъв случай се оценяват функциите на частната полезност и тегловите коефициенти за всеки критерий.

Субективна и обективна полезност

Теорията на полезността разграничава:

• обективни вероятности (например от статистиката),
• субективни вероятности, задавани от самото ЛВР.

Субективната полезност отчита личната увереност в настъпването на събитията и предпочитанията, което позволява използването на теорията в реални задачи, където липсва пълна информация​.

Теория на проспектите и критика на аксиоматиката

На практика е установено, че поведението на ЛВР невинаги се вписва в класическата аксиоматика. Открити са парадокси (например парадоксът на Але), демонстриращи отклонение от предполагаемата рационалност.

В отговор на тези ограничения е разработена теорията на проспектите (Д. Канеман и А. Тверски), в която се вземат предвид:

• асиметрията на възприемане на печалбите и загубите;
• надценяването на значимостта на определени изходи;
• нелинейната оценка на вероятностите и последствията​.

Метод за оценка на функцията на полезността

Един от методите е методът на стандартната игра. ЛВР сравнява детерминиран вариант с лотария между най-добрия и най-лошия изход, за да определи точката на безразличие. Това позволява да се изчисли стойността на функцията на полезността на варианта въз основа на субективната вероятност на тази лотария​.