Критерий на Хурвиц

Критерий на Хурвич — един от методите за вземане на решения в условия на неопределеност, който предлага балансиран подход между крайния оптимизъм и крайния песимизъм.

Същност на критерия

При избор на стратегия в ситуация, когато изходът на събитията е неизвестен, критерият на Хурвич предлага да се отчитат едновременно:

• най-лошият възможен резултат (песимистичен подход),
• най-добрият възможен резултат (оптимистичен подход).

За целта се използва специален параметър — коефициент на оптимизъм, който приема стойност от нула до единица. Колкото по-близо е коефициентът до единица, толкова повече внимание се отделя на най-добрите изходи; колкото по-близо е до нула, толкова повече се отчитат най-лошите възможни резултати.

Математическа формулировка

Нека са зададени:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — множество от налични стратегии (алтернативи).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — множество от възможни състояния на природата.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — функция на печалбата (полезността) при избор на стратегия $s_i$ и настъпване на състояние ${\theta }_j$. Често се представя като платежна матрица $A=[a_{ij}]$, където $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Критерият на Хурвич въвежда коефициент на оптимизъм $\alpha$ (алфа), който се избира от лицето, вземащо решението (ЛВР), в диапазона $0\le \alpha \le 1$. Този коефициент отразява степента на оптимизъм на ЛВР:

• $\alpha =1$ съответства на пълен оптимизъм (отчита се само най-добрият възможен изход).
• $\alpha =0$ съответства на пълен песимизъм (отчита се само най-лошият възможен изход, критерият се свежда до критерия на Валд).
• Стойността $(1-\alpha )$ може да се интерпретира като коефициент на песимизъм.

Процедура за прилагане на критерия на Хурвич:

1. Намиране на минималната и максималната печалба за всяка стратегия: За всяка стратегия $s_i\in S$ се определят:

   **Най-лош изход (минимална печалба):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **Най-добър изход (максимална печалба):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. Изчисляване на стойността на критерия на Хурвич за всяка стратегия: За всяка стратегия $s_i$ се изчислява претеглена стойност, комбинираща най-добрия и най-лошия изход с отчитане на коефициента на оптимизъм $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Тази стойност представлява очакваната печалба на стратегия $s_i$ съгласно предпочитанията на ЛВР, изразени чрез $\alpha$.

1. Избор на оптимална стратегия: Избира се онази стратегия $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$, която максимизира изчислената стойност на критерия на Хурвич:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

Опималната стойност на критерия на Хурвич (гарантирано ниво с отчитане на оптимизма $\alpha$) е равна на: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Забележка относно функцията на загубите

Ако се използва функция на загубите $L(s_i,{\theta }_j)$, която трябва да се минимизира, критерият на Хурвич се прилага за минимизиране на претеглената комбинация от най-добрия (минимални загуби) и най-лошия (максимални загуби) изход:

1. За всяка стратегия $s_i$ се намират минималните $L_i^{min}$ и максималните $L_i^{max}$ загуби.
2. Изчислява се стойността: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. Избира се стратегията, минимизираща тази стойност: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Тук $\alpha$ е все още коефициент на оптимизъм: при $\alpha =1$ ЛВР се фокусира върху минимизиране на минималните загуби (оптимистично се надява на най-добрия изход), при $\alpha =0$ — върху минимизиране на максималните загуби (песимистично се подготвя за най-лошото).

Приложение на критерия

Процесът на прилагане на критерия на Хурвич включва следните стъпки:

1. Определят се минималният и максималният резултат за всяка възможна стратегия.
2. За всяка стратегия се изчислява крайна оценка, която представлява претеглена стойност между нейния най-лош и най-добър изход, в зависимост от избраното ниво на оптимизъм.
3. Избира се онази стратегия, чиято крайна оценка е максимална.

По този начин лицето, вземащо решението, избира стратегията, която най-добре отчита неговото собствено отношение към риска и неопределеността.

Предимства и недостатъци

Предимства:

• Позволява адаптиране на процеса на избор в зависимост от характера и предпочитанията на лицето, вземащо решението.
• Отчита както риска, така и потенциалните ползи.

Недостатъци:

• Изисква субективен избор на коефициента на оптимизъм, което може да повлияе върху обективността на решението.