Критерий на Сейвидж

Критерий на Сейвидж (известен също като критерий за минимално съжаление) — един от методите за вземане на решения в условия на неопределеност. Прилага се в ситуации, когато вероятностите на различните изходи са неизвестни, а целта е минимизиране на потенциалните загуби вследствие на взето неоптимално решение.

Обща характеристика

В условия на неопределеност последствията от избора на всяка стратегия не са точно определени. За оценка на възможните алтернативи се използва редица критерии, като критериите на Валд, Хурвич, Лаплас и Сейвидж. Критерият на Сейвидж е насочен не към постигане на максимална печалба, а към минимизиране на максималното съжаление (загубите в сравнение с най-добрия възможен резултат).

Съжалението е величина, отразяваща пропуснатата изгода поради това, че не е избрана оптималната стратегия при конкретен изход.

Алгоритъм за прилагане на критерия на Сейвидж

• Формиране на платежна матрица: Изгражда се таблица, чиито редове съответстват на възможните стратегии, а колоните — на възможните изходи на събитията. На пресечната точка се записва очакваният резултат при конкретна стратегия и изход.
• Изграждане на матрица на съжаленията (матрица на рисковете): За всеки изход (колона) се определя максималната стойност на печалбата. След това за всяка клетка се изчислява величината на съжалението:
• Определяне на максималните съжаления за всяка стратегия: Във всеки ред на матрицата на съжаленията се избира максималната стойност (най-лошият случай за дадената стратегия).
• Избор на оптимална стратегия: Избира се онази стратегия, за която максималното съжаление е минимално.

По този начин критерият на Сейвидж реализира принципа на минимизиране на възможната загуба от неправилно решение.

Математическа формулировка

Нека са зададени:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — множество от достъпни стратегии (алтернативи).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — множество от възможни състояния на природата.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — функция на печалбата (полезността) при избор на стратегия $s_i$ и настъпване на състояние ${\theta }_j$. Често се представя с платежна матрица $A=[a_{ij}]$, където $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Критерият на Сейвидж се основава на понятието съжаление (regret) или пропусната изгода. Съжалението $r(s_i,{\theta }_j)$ за стратегия $s_i$ при състояние на природата ${\theta }_j$ се определя като разлика между максимално възможната печалба, която би могла да бъде получена при дадено състояние на природата ${\theta }_j$ (ако беше избрана най-добрата стратегия за това състояние), и действителната печалба от стратегия $s_i$.

Алгоритъм за прилагане на критерия на Сейвидж:

1. Изчисляване на матрицата на съжаленията (рисковете):

   а) Намиране на максималната печалба за всяко състояние на природата (всяка колона на платежната матрица):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Това е най-добрият възможен резултат, ако настъпи състояние ${\theta }_j$.

   б) Изчисляване на елементите на матрицата на съжаленията $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   Елементът $r_{ij}$ показва с колко печалбата от стратегия $s_i$ е по-малка от максимално възможната при състояние ${\theta }_j$. Всички елементи $r_{ij}\ge 0$.

1. Намиране на максималното съжаление за всяка стратегия: За всяка стратегия $s_i$ (всеки ред на матрицата на съжаленията $R$) се определя най-лошият ѝ възможен изход от гледна точка на съжалението:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Избор на стратегия с минимално максимално съжаление (принцип на минимакс на съжаленията): Избира се онази стратегия $s_{\text{Savage}}^{\ast }$, която минимизира намереното максимално съжаление:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Или, като се подставя изразът за $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Минималната стойност на максималното съжаление, постигана при прилагане на критерия на Сейвидж, е равна на: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

По този начин критерият на Сейвидж е насочен към избора на стратегия, която гарантира най-малки загуби спрямо най-доброто възможно действие за всяко състояние на природата.

Ключови моменти в математическата формулировка:

• Определение на съжалението $r_{ij}$: Това е централното понятие. Важно е да се покаже, че то се изчислява като разлика между най-добрия изход в колона j и текущия изход a_{ij}.
• Матрица на съжаленията $R$: Изрично е посочено как се изгражда.
• Намиране на $r_i^{max}$: Показано е търсенето на максимума във всеки ред на матрицата на съжаленията.
• Принцип на минимакс: Ясно е формулиран изборът на стратегия чрез $\arg min$ от $max$ съжаления.
• Използвани означения: Стандартни за теорията на игрите и вземането на решения (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Предимства и недостатъци

Предимства:

• Насочен е към минимизиране на рисковете.
• Особено ефективен в условия на висока неопределеност.

Недостатъци:

• Игнорира очакваната печалба, като се съсредоточава само върху възможните загуби.
• Може да води до прекалено консервативни решения.

Критерии за вземане на решения

• Критерий на Хурвич
• Критерий на Лаплас
• Критерий на Валд