Критерий на Валд

Критерият на Валд — един от основните методи за вземане на решения в условия на неопределеност. Той се основава на принципа на крайния песимизъм и е насочен към избор на стратегия, която осигурява най-добрия резултат при най-лошия възможен сценарий.

Същност на критерия

Критерият предполага, че лицето, вземащо решение, се ориентира към най-неблагоприятния изход за всяка стратегия. За всяка алтернатива се определя нейният най-лош възможен резултат. От всички стратегии се избира тази, при която този най-лош резултат е най-добър сред всички.

С други думи, критерият на Валд е насочен към минимизиране на максималните загуби и осигурява най-голяма защита срещу неблагоприятни условия.

Приложение на критерия

Процесът на прилагане включва следните стъпки:

1. За всяка стратегия се определя най-лошият възможен резултат.
2. Сравняват се най-лошите резултати на всички стратегии.
3. Избира се стратегията с най-добрия от най-лошите изходи.

Този подход е характерен за крайно предпазливи лица, стремящи се да минимизират рисковете независимо от вероятността за настъпване на различни изходи.

Математическа формулировка

Нека са зададени:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — множество от достъпни стратегии (алтернативи), от които избира лицето, вземащо решение (ЛВР).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — множество от възможни състояния на природата (външни условия, сценарии), независещи от избора на ЛВР.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — функция на печалбата (полезността), представляваща числова оценка на резултата при избор на стратегия $s_i\in S$ и настъпване на състояние на природата ${\theta }_j\in \Theta$. Често се представя под формата на платежна матрица $A=[a_{ij}]$, където $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Критерият на Валд (или максиминният критерий) предписва следния ред на действия:

1. Намиране на минималната печалба за всяка стратегия: За всяка стратегия $s_i$ се определя нейният най-лош възможен изход (минималната печалба) по всички възможни състояния на природата:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. Избор на стратегия с максимална от минималните печалби: Избира се тази стратегия $s_{\text{Wald}}^{\ast }$, която осигурява най-голямата стойност сред намерените минимални печалби:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Гарантираното (минималното) ниво на печалба при използване на критерия на Валд е равно на: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

По този начин критерият на Валд реализира принципа на максимина — максимизиране на минималната печалба. Той е ориентиран към песимистичен поглед, предполагайки, че каквото и решение да бъде взето, природата ще отговори по най-неблагоприятния за ЛВР начин.

Забележка относно функцията на загубите

Ако вместо функцията на печалбата $u(s_i,{\theta }_j)$ се използва функция на загубите $L(s_i,{\theta }_j)$, която трябва да бъде минимизирана, то критерият на Валд се превръща в критерий на минимакса на загубите:

1. За всяка стратегия $s_i$ се намира максималната стойност на загубите: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. Избира се стратегията, минимизираща тези максимални загуби: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

Предимства и недостатъци

Предимства:

• Простота и яснота на метода.
• Осигуряване на висока степен на безопасност на решенията в условия на пълна неопределеност.

Недостатъци:

• Прекомерен песимизъм: възможните високи ползи се пренебрегват в името на минимизиране на загубите.
• Може да води до избор на прекалено консервативни стратегии.