Çok Kriterli Optimizasyon

Çok kriterli optimizasyon (ayrıca çok kriterli programlama, İng. multi-objective optimization, multi-criteria optimization) — genellikle birbiriyle çelişen iki veya daha fazla amaç fonksiyonuna (kritere) göre eş zamanlı optimizasyon problemlerini inceleyen matematiksel optimizasyonun bir dalıdır. Biçimsel olarak problem, izin verilen çözümler kümesi üzerinde vektörel amaç fonksiyonunun minimize edilmesi olarak ifade edilir.

Tanım ve Terminoloji

Çok kriterli optimizasyon problemi genel biçimiyle şu şekilde yazılır: $\underset{x\in S}{min}\{f_1(x),f_2(x),\dots ,f_k(x)\}$ burada $S\subseteq {ℝ}^n$ — boş olmayan izin verilen çözümler kümesi, $f_i:S\to ℝ$ — amaç fonksiyonlarıdır ($k\ge 2$). $f(x)=(f_1(x),\dots ,f_k(x))$ vektörü amaç vektörü olarak adlandırılır.

Skaler optimizasyondan farklı olarak, çok kriterli formülasyonda genellikle tüm kriterlerin değerlerini aynı anda iyileştiren tek bir çözüm mevcut değildir. Bu nedenle klasik optimum kavramı, Pareto optimalliği kavramı kullanılarak genelleştirilir.

• Pareto çözümü (Pareto-optimal veya etkin çözüm): İzin verilen bir $x^{\ast }\in S$ çözümü için, tüm $i=1,\dots ,k$ değerlerinde $f_i(x)\le f_i(x^{\ast })$ koşulunu sağlayan ve en az bir $j$ indeksi için $f_j(x)<f_j(x^{\ast })$ koşulunu yerine getiren başka bir $x\in S$ çözümünün bulunmadığı çözüm. Başka bir deyişle, bir çözüm Pareto-optimal'dir; eğer herhangi bir kriterin değeri, en az bir diğer kriteri kötüleştirmeden iyileştirilemiyorsa.
• Pareto cephesi (veya Pareto kümesi): Pareto-optimal çözümlere karşılık gelen tüm amaç vektörlerinin kümesi.
• Zayıf Pareto-optimal çözüm: Tüm $i$ değerlerinde $f_i(x)<f_i(x^{\ast })$ koşulunu sağlayan başka bir $x\in S$ çözümünün bulunmadığı $x^{\ast }\in S$ çözümü.

Temel Özellikler ve Teoremler

• Ağırlıklı toplam teoremi: Dışbükey problemlerde (tüm $f_i(x)$ fonksiyonlarının ve $S$ kümesinin dışbükey olduğu durumlarda) her Pareto-optimal $x^{\ast }$ çözümü, belirli negatif olmayan ağırlıklar $w_i\ge 0$ için kriterlerin ağırlıklı toplamının $\underset{x\in S}{min}\sum _{i=1}^k{w}_i{f}_i(x)$ minimize edilmesine ilişkin skaler problemin çözümüdür. Ancak dışbükey olmayan problemlerde bu yöntem, Pareto cephesinin bazı bölümlerini bulamayabilir.

• Karush-Kuhn-Tucker (KKT) optimallik koşulları: Türevlenebilir problemler için gerekli optimallik koşulları çok kriterli duruma genelleştirilir. Pareto-optimum noktasında, amaç fonksiyonlarının ve aktif kısıtlamaların gradyanlarının doğrusal bağımlı olduğu, sıfırdan farklı negatif olmayan çarpanlar (ağırlıklar) kümesi mevcuttur.

• Çözüm kümesinin özellikleri: Pareto cephesi bir dizi önemli niteliksel özelliğe sahiptir. Sınırı, ideal nokta (tüm kriterlerin bileşen bazındaki minimumlarından oluşan) ve nadir nokta (cephe üzerindeki bileşen bazındaki maksimumlardan oluşan) ile belirlenir.

Örnekler

• Doğrusal problem: $x_1+x_2\le 1$, $x_1,x_2\ge 0$ kısıtlamaları altında $f_1(x)=-x_1$ ve $f_2(x)=-x_2$ değerlerini minimize etmek. Burada bir kriteri iyileştirmek (örneğin $x_1$ değerini artırmak) kaçınılmaz olarak diğerinin kötüleşmesine yol açar ($x_2$ değerinin azalması). Pareto-optimal çözümler kümesi, $x_1+x_2=1$ doğru parçasıdır.
• Dışbükey olmayan problem: $[0,2]$ aralığında $f_1(x)=x^2$ ve $f_2(x)=(x-2{)}^2$ değerlerini minimize etmek. Pareto cephesi dışbükey değildir. Pozitif ağırlıklarla uygulanan ağırlıklı toplam yöntemi, bu aralığın iç kısımlarındaki çözümleri (örneğin $x=1$ noktasındaki) bulamayacaktır; çünkü kriterlerin doğrusal kombinasyonu minimumuna yalnızca uç noktalarda ($x=0$ veya $x=2$) ulaşır.

İlgili Kavramlar ve Uygulamalar

Çok kriterli optimizasyon, karar vericinin tercihlerini göz önünde bulundurarak en iyi alternatifin seçimini inceleyen çok kriterli karar verme (MCDM) ile yakından ilişkilidir. Çok kriterli problemi skaler bir probleme dönüştürmenin (skalarizasyon) başlıca yöntemleri şunlardır:

• Ağırlıklı toplam yöntemi.
• $\epsilon$-kısıtlama yöntemi: Bir kriter optimize edilir, diğerleri ise $f_i(x)\le {\epsilon }_i$ biçimindeki kısıtlamalara dönüştürülür. Bu yöntem, cephenin dışbükey olmayan bölümlerindeki çözümleri bulabilir.

Çok kriterli optimizasyon; mühendislik tasarımı, ekonomi (örneğin portföy optimizasyonu), yönetim ve çevre bilimi alanlarında geniş uygulama alanı bulmaktadır.

Ayrıca bakınız

• Pareto optimalliği
• Vektörel optimizasyon
• Karar teorisi
• Karar destek sistemleri
• Yöneylem araştırması