La recherche opérationnelle a conquis ces dernières années un champ d’application de plus en plus vaste. Cette science appartient aux disciplines relativement jeunes, formées récemment ; ses frontières et son contenu ne sont pas clairement définis.
La recherche opérationnelle est enseignée dans de nombreuses universités, mais le contenu attribué à ce terme est loin d’être uniforme. Certains auteurs entendent par « recherche opérationnelle » avant tout les méthodes mathématiques d’optimisation, telles que la programmation linéaire, non linéaire et dynamique. D’autres, au contraire, n’incluent pas ces branches des mathématiques dans la recherche opérationnelle, abordant celle-ci principalement du point de vue de la théorie des jeux et de la théorie statistique de la décision. Certains sont enclins à nier purement et simplement l’existence de la « recherche opérationnelle » en tant que discipline scientifique indépendante, l’incorporant à la cybernétique (terme également insuffisamment défini et compris différemment selon les personnes). D’autres, inversement,投attribuent au concept de « recherche opérationnelle » un sens excessivement large, proclamant cette discipline « science des sciences » englobant tout.
Le temps dira sous quelles formes cette science relativement jeune continuera de se développer, quelles sections elle conservera et lesquelles se « détacheront » en disciplines scientifiques indépendantes. En particulier, la relation future entre la « recherche opérationnelle » et la « théorie des systèmes » (ou « théorie des systèmes complexes »), dont on a beaucoup parlé et écrit récemment, reste incertaine. Quoi qu’il en soit, il est indéniable que dans les domaines les plus divers de la pratique — organisation de la production et de l’approvisionnement, opérations de transport, opérations militaires et armements, affectation du personnel, services aux consommateurs, santé, communications, informatique, etc. — surgissent de plus en plus de problèmes qui se ressemblent par leur formulation, présentent un certain nombre de traits communs et se résolvent par des méthodes similaires, que l’on regroupe commodément sous l’appellation générale de « problèmes de recherche opérationnelle ».
La situation typique est la suivante : une action orientée vers un but est organisée d’une manière ou d’une autre — c’est-à-dire qu’une certaine « décision » peut être prise parmi un certain nombre d’alternatives possibles. Chaque alternative a des avantages et des inconvénients, et en raison de la complexité de la situation, il n’apparaît pas immédiatement clairement laquelle est meilleure (préférable) et pourquoi. Pour clarifier la situation et comparer les alternatives de décision selon un ensemble de critères, on effectue une série de calculs mathématiques. Leur tâche est d’aider les personnes chargées de choisir la décision à effectuer une analyse critique de la situation et, finalement, à arrêter leur choix sur telle ou telle alternative.
À notre époque, que l’on appelle à juste titre l’ère de la révolution scientifique et technique, la science accorde une attention toujours plus grande aux questions d’organisation et de gestion. Les raisons en sont nombreuses. Le développement rapide et la complexité croissante de la technique, l’expansion sans précédent de l’ampleur des entreprises et de l’éventail de leurs conséquences possibles, l’introduction de systèmes de commande automatisés dans tous les domaines de la pratique — tout cela impose d’analyser les processus complexes orientés vers un but du point de vue de leur structure et de leur organisation. La science est appelée à fournir des recommandations pour une gestion optimale (rationnelle) de tels processus. Le temps où une gestion correcte et efficace était trouvée par les organisateurs « au flair », par la méthode des « essais et erreurs », est révolu. Aujourd’hui, l’élaboration d’une telle gestion exige une approche scientifique — les pertes liées aux erreurs sont trop importantes.
Les besoins de la pratique ont fait naître des méthodes scientifiques particulières, que l’on regroupe commodément sous l’appellation « recherche opérationnelle ». Par ce terme, nous entendrons l’application de méthodes mathématiques, quantitatives, pour la justification des décisions dans tous les domaines de l’activité humaine orientée vers un but.
Expliquons ce que l’on entend par « décision ». Supposons qu’une entreprise soit menée, orientée vers l’atteinte d’un objectif précis. La personne (ou le groupe de personnes) qui organise l’entreprise dispose toujours d’une certaine liberté de choix : elle peut l’organiser d’une manière ou d’une autre — par exemple, choisir les types d’équipements à utiliser, répartir les ressources disponibles d’une façon ou d’une autre, etc. Une « décision » est précisément un certain choix parmi l’éventail des possibilités offertes à l’organisateur. Les décisions peuvent être mauvaises ou bonnes, réfléchies ou hâtives, bien fondées ou arbitraires.
La recherche opérationnelle commence lorsque des méthodes mathématiques sont appliquées pour justifier des décisions. Jusqu’à un certain point, les décisions dans n’importe quel domaine de la pratique sont prises sans calculs mathématiques particuliers, simplement sur la base de l’expérience et du bon sens. Cependant, il existe des décisions bien plus lourdes de conséquences. Supposons, par exemple, que l’on organise les transports en commun dans une nouvelle ville dotée d’un réseau d’entreprises, de quartiers résidentiels, etc. Un certain nombre de décisions doivent être prises : selon quels itinéraires et avec quels moyens de transport faut-il les diriger ? À quels endroits placer les arrêts ? Comment ajuster la fréquence de service selon l’heure de la journée ? Et ainsi de suite.
Ces décisions sont bien plus complexes, et surtout, beaucoup en dépend. Un choix incorrect peut affecter la vie active de toute une ville. Bien entendu, dans ce cas également, on peut agir intuitivement en choisissant une décision, en s’appuyant sur l’expérience et le bon sens (et cela se fait effectivement souvent). Mais les décisions seront bien plus rationnelles si elles sont étayées par des calculs mathématiques. Ces calculs préliminaires aideront à éviter une recherche longue et coûteuse de la bonne décision « au flair ».
Plus l’entreprise projetée est complexe, coûteuse et de grande envergure, moins les décisions arbitraires sont acceptables, et plus importantes deviennent les méthodes scientifiques permettant d’évaluer à l’avance les conséquences de chaque décision, de rejeter d’emblée les alternatives inadmissibles et de recommander les plus réussies ; de déterminer si les informations dont nous disposons sont suffisantes pour un choix correct de la décision et, sinon, quelles informations supplémentaires il faut obtenir. Il est trop dangereux dans de tels cas de se fier à son intuition, à « l’expérience et au bon sens ». À notre époque de révolution scientifique et technique, la technique et les méthodes changent si rapidement que « l’expérience » n’a tout simplement pas le temps de s’accumuler. De plus, nous avons souvent affaire à des entreprises uniques, menées pour la première fois. Dans de tels cas, « l’expérience » se tait, et le « bon sens » peut facilement être trompé s’il ne s’appuie pas sur le calcul. C’est précisément à de tels calculs, qui aident les gens à prendre des décisions, que s’intéresse la recherche opérationnelle.
Une opération est toute entreprise (système d’actions), unifiée par un plan unique et orientée vers l’atteinte d’un objectif. Une opération est toujours une entreprise gérée — c’est-à-dire qu’il dépend de nous de choisir certains paramètres caractérisant son organisation. « L’organisation » s’entend ici au sens large du terme, y compris l’ensemble des moyens techniques employés dans l’opération.
Tout choix concret des paramètres qui dépendent de nous est appelé une décision. Les décisions peuvent être réussies ou non réussies, rationnelles ou irrationnelles. Les décisions sont dites optimales si, selon tel ou tel critère, elles sont préférables aux autres. L’objectif de la recherche opérationnelle est de fournir un appui quantitatif au choix des décisions optimales.
Parfois (relativement rarement), une étude aboutit à une décision unique strictement optimale ; bien plus souvent, elle identifie un ensemble de décisions optimales (rationnelles) pratiquement équivalentes, parmi lesquelles le choix final peut être effectué.
Il convient de noter que la prise de décision proprement dite se situe en dehors du champ de la recherche opérationnelle et relève de la compétence d’une personne responsable, ou plus souvent d’un groupe de personnes, à qui est accordé le droit du choix final et qui en assume la responsabilité. En faisant leur choix, elles peuvent tenir compte, outre les recommandations issues des calculs mathématiques, d’un certain nombre de considérations supplémentaires (de caractère tant quantitatif que qualitatif) qui n’ont pas été prises en compte dans les calculs.
La présence indispensable d’un être humain (en tant qu’instance finale prenant la décision) n’est pas annulée même en présence d’un système de commande entièrement automatisé qui semblerait prendre des décisions sans intervention humaine. Il ne faut pas oublier que la création même de l’algorithme de commande, le choix de l’une de ses variantes possibles, est elle-même une décision — et une décision hautement lourde de conséquences.
Les paramètres dont l’ensemble forme une décision sont appelés variables de décision. Divers nombres, vecteurs, fonctions, caractéristiques physiques, etc. peuvent servir de variables de décision. Dans les problèmes de recherche opérationnelle les plus simples, le nombre de variables de décision peut être relativement restreint. Mais dans la plupart des problèmes ayant une importance pratique, le nombre de variables de décision est très grand.
Outre les variables de décision, dont nous disposons dans certaines limites, tout problème de recherche opérationnelle contient également des conditions données, « disciplinantes », fixées d’emblée et qui ne peuvent être violées (par exemple, la capacité de charge d’un véhicule, la taille d’une tâche planifiée, les caractéristiques pondérales d’un équipement, et autres). En particulier, de telles conditions incluent les ressources (matérielles, techniques, humaines) dont nous avons le droit de disposer, ainsi que d’autres contraintes imposées à la décision. Prises ensemble, elles forment ce que l’on appelle « l’ensemble réalisable ».
Pour comparer entre elles différentes décisions du point de vue de leur efficacité, il faut un critère quantitatif quelconque, une mesure dite d’efficacité (souvent appelée « fonction objectif »). Cette mesure est choisie de manière à refléter le caractère orienté vers un but de l’opération. La « meilleure » décision sera considérée comme celle qui contribue le plus à l’atteinte de l’objectif fixé. Pour choisir, pour « nommer » la mesure d’efficacité W, il faut d’abord se demander : que voulons-nous, vers quoi tendons-nous en entreprenant l’opération ? En choisissant une décision, nous préférons naturellement celle qui rend la mesure d’efficacité W maximale (ou minimale). Par exemple, on souhaiterait maximiser le revenu tiré d’une opération ; si la mesure d’efficacité est constituée par les coûts, on souhaiterait les minimiser.
Très souvent, le déroulement d’une opération s’accompagne de l’action de facteurs aléatoires. Dans de tels cas, on prend habituellement comme mesure d’efficacité non pas la grandeur elle-même que l’on souhaiterait maximiser (minimiser), mais sa valeur moyenne (espérance mathématique).
Dans certains cas, une opération accompagnée de facteurs aléatoires poursuit un but tout à fait déterminé, qui ne peut être qu’entièrement atteint ou pas du tout atteint (schéma « oui-non »), et aucun résultat intermédiaire ne présente d’intérêt. Dans de tels cas, on choisit comme mesure d’efficacité la probabilité d’atteindre ce but. Par exemple, si l’on tire sur une cible quelconque avec la condition impérative de la détruire, la probabilité de destruction de la cible constituera la mesure d’efficacité.
Un choix incorrect de la mesure d’efficacité est très dangereux. Les opérations organisées du point de vue d’un critère mal choisi peuvent entraîner des dépenses et des pertes injustifiées. Malheureusement, dans la plupart des problèmes ayant une importance pratique, le choix de la mesure d’efficacité n’est pas simple et ne se résout pas de manière univoque. Pour tout problème suffisamment complexe, il est caractéristique que l’efficacité d’une opération ne puisse être exhaustivement caractérisée par un seul nombre — il faut faire appel à d’autres mesures pour la compléter.
Pour appliquer des méthodes de recherche quantitative dans n’importe quel domaine, un modèle mathématique quelconque est toujours nécessaire. En construisant un modèle, le phénomène réel (dans notre cas, l’opération) est inévitablement simplifié et schématisé, et ce schéma (une représentation schématique du phénomène) est décrit à l’aide d’outils mathématiques. Plus le modèle mathématique est choisi avec succès, mieux il reflète les traits caractéristiques du phénomène, plus l’étude sera réussie et plus les recommandations qui en résultent seront utiles.
Il n’existe pas de méthodes générales pour construire des modèles mathématiques. Dans chaque cas concret, le modèle est choisi en fonction du type d’opération, de son orientation vers un but, et en tenant compte de la tâche de recherche (quels paramètres doivent être déterminés et quelle influence de quels facteurs doit être reflétée). Il faut également, dans chaque cas concret, équilibrer la précision et le détail du modèle avec : (a) la précision avec laquelle nous avons besoin de connaître la solution, et (b) l’information dont nous disposons ou que nous pouvons acquérir. Si les données initiales nécessaires aux calculs sont connues de manière imprécise, il n’y a évidemment pas lieu d’entrer dans des subtilités, de construire un modèle très détaillé, et de consacrer du temps (le sien et celui de l’ordinateur) à une optimisation fine et précise de la solution. Malheureusement, ce principe est souvent négligé, et l’on choisit des modèles trop détaillés pour décrire les phénomènes.
Un modèle mathématique doit refléter les traits les plus importants du phénomène, tous les facteurs essentiels dont dépend principalement le succès de l’opération. En même temps, le modèle doit être aussi simple que possible, ne pas être « encombré » d’une masse de facteurs mineurs, secondaires : leur prise en compte complique l’analyse mathématique et rend les résultats de la recherche moins faciles à embrasser. Deux dangers guettent toujours le constructeur de modèles : le premier est de s’enliser dans les détails (« ne pas voir la forêt à cause des arbres »), et le second est de trop simplifier le phénomène (« jeter le bébé avec l’eau du bain »). L’art de construire des modèles mathématiques est bien un art, et l’expérience s’y acquiert progressivement.
Puisqu’un modèle mathématique ne découle pas nécessairement de la description du problème, il est toujours utile de ne pas se fier aveuglément à un seul modèle, mais de comparer les résultats obtenus à partir de différents modèles, en organisant une sorte de « concours de modèles ». Dans ce processus, le même problème est résolu non pas une fois, mais plusieurs fois, en utilisant différents systèmes d’hypothèses, différents appareils et différents modèles. Si les conclusions scientifiques changent peu d’un modèle à l’autre, c’est un argument solide en faveur de l’objectivité de l’étude. Si elles divergent significativement, il faut reconsidérer les concepts sous-jacents aux différents modèles, déterminer lequel d’entre eux est le plus adéquat à la réalité, et, si nécessaire, mener une expérience de contrôle. Est également caractéristique de la recherche opérationnelle le retour répété au modèle (après qu’un premier cycle de calculs a déjà été effectué) pour y introduire des corrections.
La création d’un modèle mathématique est la partie la plus importante et la plus responsable de l’étude, exigeant une connaissance profonde non pas tant des mathématiques que de l’essence des phénomènes modélisés. En règle générale, les mathématiciens « purs » (sans l’aide de spécialistes du domaine auquel appartient le problème) se débrouillent mal avec la construction de modèles. Leur attention est concentrée sur les outils mathématiques et leurs subtilités, plutôt que sur le problème pratique réel.
L’expérience montre que les modèles les plus réussis sont créés par des spécialistes du domaine de pratique concerné, qui ont reçu, en plus de leur formation initiale, une préparation mathématique approfondie, ou par des équipes réunissant des spécialistes de la pratique et des mathématiciens. Un grand bénéfice provient des consultations données par un mathématicien bien versé dans la recherche opérationnelle à des praticiens — ingénieurs, biologistes, médecins et autres — qui rencontrent dans leur travail le besoin d’une justification scientifique des décisions.
Il faut souligner tout particulièrement que la connaissance de la théorie des probabilités est nécessaire — non pas tant étendue et profonde qu’informelle et efficace, ainsi qu’une habitude de travailler avec des données statistiques et des concepts probabilistes. Les exigences particulières précisément dans ce domaine de connaissance mathématique s’expliquent par le fait que la plupart des opérations sont menées dans des conditions d’incertitude incomplète, et que leur déroulement et leur issue dépendent de facteurs aléatoires. Malheureusement, parmi les larges cercles de spécialistes — ingénieurs, biologistes, médecins, chimistes — une bonne maîtrise de la théorie des probabilités est rarement rencontrée. Ses propositions et règles sont souvent appliquées formellement, sans une véritable compréhension de leur sens et de leur esprit. Il n’est pas rare que la théorie des probabilités soit considérée comme une sorte de « baguette magique » permettant d’obtenir de l’information « à partir de rien », d’une ignorance complète. C’est une conception erronée : la théorie des probabilités permet seulement de transformer l’information — c’est-à-dire, à partir de données sur certains phénomènes accessibles à l’observation, de tirer des conclusions sur d’autres phénomènes inaccessibles.
Dans la construction d’un modèle mathématique, on peut utiliser des outils mathématiques de complexité variable (selon le type d’opération, les tâches de recherche et la précision des données initiales). Dans les cas les plus simples, le phénomène est décrit par de simples équations algébriques. Dans les cas plus complexes, lorsqu’il faut examiner le phénomène dans sa dynamique, on emploie les méthodes des équations différentielles (ordinaires ou aux dérivées partielles). Dans les cas les plus complexes, lorsque le développement d’une opération et son issue dépendent d’un grand nombre de facteurs aléatoires étroitement enchevêtrés, les méthodes analytiques échouent entièrement, et l’on emploie la méthode de modélisation statistique (Monte-Carlo).
En première approximation grossière, l’idée de cette méthode peut être décrite comme suit : le processus de développement de l’opération, avec tout l’aléa qui l’accompagne, est en fait « copié », reproduit sur un ordinateur. On obtient un seul exemplaire (une « réalisation ») du processus aléatoire de développement de l’opération, avec un déroulement et une issue aléatoires. Une seule réalisation de ce type ne fournit en elle-même aucune base pour choisir une décision, mais après avoir obtenu de nombreuses réalisations de ce type, nous les traitons comme un matériau statistique ordinaire (d’où le terme « modélisation statistique »), nous trouvons les caractéristiques moyennes du processus, et nous acquérons une compréhension de la manière dont, en moyenne, les conditions du problème et les variables de décision les influencent.
En recherche opérationnelle, les modèles analytiques et statistiques sont tous deux largement utilisés. Chacun de ces types présente ses propres avantages et inconvénients. Les modèles analytiques sont plus grossiers, tiennent compte de moins de facteurs, et exigent toujours certaines hypothèses et simplifications. En revanche, leurs résultats de calcul sont plus faciles à embrasser et reflètent plus clairement les régularités fondamentales inhérentes au phénomène. Et surtout, les modèles analytiques se prêtent mieux à la recherche de solutions optimales.
Les modèles statistiques, comparés aux modèles analytiques, sont plus précis et plus détaillés, n’exigent pas d’hypothèses aussi grossières, et permettent de tenir compte d’un grand nombre (en théorie, illimité) de facteurs. Mais ils ont aussi leurs inconvénients : lourdeur, faible facilité d’appréhension, et surtout, l’extrême difficulté de la recherche de solutions optimales, qu’il faut chercher « au flair », par tâtonnements et essais.
Les meilleurs travaux dans le domaine de la recherche opérationnelle reposent sur l’utilisation combinée des modèles analytiques et statistiques. Un modèle analytique permet d’acquérir une compréhension générale du phénomène, d’esquisser en quelque sorte le « contour » des régularités fondamentales. Tous les affinements peuvent être obtenus à l’aide de modèles statistiques.
Pour conclure, disons quelques mots de la modélisation dite « par simulation ». Elle s’applique aux processus dans le déroulement desquels la volonté humaine peut intervenir de temps à autre. La personne (ou le groupe de personnes) dirigeant l’opération peut, selon la situation qui s’est développée, prendre telle ou telle décision, un peu comme un joueur d’échecs qui, regardant l’échiquier, choisit son prochain coup. Le modèle mathématique est alors mis en mouvement, montrant quel changement de situation est attendu en réponse à cette décision et à quelles conséquences elle mènera au bout d’un certain temps. La « décision courante » suivante est prise en tenant déjà compte de la nouvelle situation réelle, et ainsi de suite. À la suite de l’application répétée de cette procédure, le gestionnaire « acquiert de l’expérience » en quelque sorte, apprend de ses propres erreurs et de celles des autres, et apprend progressivement à prendre des décisions correctes — sinon optimales, du moins presque optimales.