--- title: "Теория полезности" source: "https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8" wiki: "systems-analysis.info/wiki" article: "Теория_полезности" language: "ru" categories: - "Категория:Russian" - "Категория:Теория принятия решений" revision_id: 419 wiki_created_at: 2026-09-06T22:08:36Z wiki_modified_at: 2026-09-06T22:08:36Z downloaded_at: 2026-09-07T22:19:41Z --- # Теория полезности **Теория полезности** — это направление в [теории принятия решений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Теория принятия решений"), которое изучает количественное выражение [предпочтений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D1%87%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Предпочтения") лица, принимающего решение (ЛПР), с целью выявления наилучших [альтернатив](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0 "Альтернатива") в условиях определенности, [неопределенности](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C "Неопределённость") или [риска](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A0%D0%B8%D1%81%D0%BA "Риск"). Она основана на построении числовой функции, называемой функцией полезности, которая отражает субъективную ценность возможных исходов выбора. ## Общая характеристика Теория полезности опирается на представление о рациональном выборе, при котором ЛПР стремится максимизировать субъективную полезность результата. Эта функция может быть: - функцией ценности — в условиях полной определенности; - функцией полезности — в условиях вероятностной неопределенности. Каждой альтернативе сопоставляется числовое значение, отражающее её относительную желательность для ЛПР. Сравнение значений функции позволяет упорядочить варианты и выбрать наиболее предпочтительный. ## Аксиоматический подход Функция полезности вводится на основе **системы аксиом**, отражающих требования к рациональному поведению. Классическая аксиоматика включает: - **аксиому полной сравнимости** — любые два варианта можно сравнить; - **аксиому транзитивности** — предпочтения между вариантами логически согласованы; - **аксиому непрерывности** — между любыми двумя вариантами найдётся лотерея, эквивалентная третьему; - **аксиому независимости** — предпочтение между вариантами сохраняется при включении их в составные лотереи​. Выполнение этих условий позволяет построить числовую функцию полезности, инвариантную к линейным преобразованиям, что означает возможность её использования в шкале интервалов​ ## Виды функций полезности ### 1. Линейная функция полезности Линейная форма используется, когда: - исходы выражены в одной числовой шкале (например, денежные значения), - предпочтения ЛПР обладают **постоянной предельной полезностью**, - отсутствует взаимодействие между критериальными характеристиками. ### 2. Выпуклая и вогнутая функции полезности - **Вогнутая функция** отражает *неприязнь к риску* (риск-аверсия): полезность увеличивается с ростом значений, но с убывающей отдачей. - **Выпуклая функция** — признак *склонности к риску* (риск-пристрастие): ЛПР предпочитает потенциально более выигрышные, но менее надёжные варианты. Форма функции полезности даёт возможность учитывать отношение ЛПР к неопределённости при выборе между надёжными и рискованными альтернативами. ### 3. Ступенчатая (дискретная) функция полезности Используется, когда предпочтения выражаются по качественным шкалам или в ситуациях с ограниченным числом дискретных исходов (например, одобрение/неодобрение, уровни качества). В такой функции каждой альтернативе приписывается фиксированное значение полезности без учёта промежуточных градаций. Ступенчатые функции применяются в вербальных методах, экспертных системах и логико-лингвистических моделях выбора. ### 4. Аддитивная функция полезности (MAUT) Используется в задачах **многокритериального выбора**, когда предпочтения по каждому критерию независимы. Общая полезность представляется в виде суммы частных полезностей по каждому критерию, умноженных на весовые коэффициенты. ### 5. Мультипликативная функция полезности Используется, если между критериями существуют **взаимодействия** (например, один критерий усиливает или ослабляет значимость другого). ### 6. Функции полезности на вероятностных пространствах Применяются в задачах **принятия решений под риском**. Каждому исходу приписывается не только значение результата, но и вероятность его наступления. Функция полезности используется для расчёта *ожидаемой полезности* — математического ожидания субъективной ценности результата. ## Теория одномерной и многомерной полезности В одномерной модели полезность определяется для каждого варианта в целом. В многомерной модели (MAUT — Multi-Attribute Utility Theory) учитываются частные оценки по нескольким критериям. Общая полезность формируется на основе: - аддитивной модели, если предпочтения по критериям независимы; - мультипликативной модели, если имеется взаимодействие между критериями​ . Пример: полезность решения может зависеть одновременно от времени, стоимости и риска; в таком случае оцениваются функции частной полезности и весовые коэффициенты для каждого критерия. ## Субъективная и объективная полезность Теория полезности различает: - объективные вероятности (например, из статистики), - субъективные вероятности, задаваемые самим ЛПР. Субъективная полезность учитывает личную уверенность в наступлении событий и предпочтения, что позволяет использовать теорию в реальных задачах, где отсутствует полная информация​ . ## Теория проспектов и критика аксиоматики На практике установлено, что поведение ЛПР не всегда укладывается в классическую аксиоматику. Выявлены парадоксы (например, парадокс Алле), демонстрирующие отклонение от предполагаемой рациональности. В ответ на эти ограничения была разработана теория проспектов (Д. Канеман и А. Тверски), в которой учитываются: - асимметрия восприятия выигрышей и потерь; - завышение значимости определённых исходов; - нелинейная оценка вероятностей и последствий​ . ## Метод оценки функции полезности Один из методов — метод стандартной игры. ЛПР сравнивает детерминированный вариант с лотереей между наилучшим и наихудшим исходом, чтобы определить точку безразличия. Это позволяет вычислить значение функции полезности варианта, основываясь на субъективной вероятности этой лотереи​.