--- title: "Принятие решений в условиях риска" source: "https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B2_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F%D1%85_%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0" wiki: "systems-analysis.info/wiki" article: "Принятие_решений_в_условиях_риска" language: "ru" categories: - "Категория:Russian" - "Категория:Принятие решений" - "Категория:Теория принятия решений" revision_id: 346 wiki_created_at: 2026-09-06T22:07:28Z wiki_modified_at: 2026-09-06T22:07:28Z downloaded_at: 2026-09-07T22:19:14Z --- # Принятие решений в условиях риска **Принятие решений в условиях риска** — это процесс выбора наилучшей альтернативы в ситуации, когда результат зависит не только от действий лица, принимающего решение (ЛПР), но и от случайных факторов, вероятности которых известны или обоснованно оценены. В таких задачах каждому выбору соответствует не единственный исход, а распределение возможных исходов с заданными вероятностями. ## Особенности ситуации риска К ситуации риска относятся задачи, в которых: - возможные состояния внешней среды (сценарии) известны и перечислимы; - каждому состоянию сопоставлена числовая вероятность его наступления; - результат выбора — случайная величина, зависящая от совместного действия решения ЛПР и наступившего состояния среды. В отличие от полной определённости, где исход однозначен, и от [неопределённости](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B2_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F%D1%85_%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 "Принятие решений в условиях неопределенности"), где вероятности состояний неизвестны, условия риска допускают применение численных оценок, основанных на вероятностях. ## Формальная постановка задачи Задача принятия решений в условиях риска описывается следующими элементами: - множество альтернатив *A = {A1, …, Am}*; - множество состояний среды *S = {S1, …, Sn}*; - распределение вероятностей *p = (p1, …, pn)*, *pj ≥ 0*, *Σj pj = 1*; - [платёжная матрица](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Матричная модель принятия решений") с элементами *aij* — результатом при выборе *i*-й альтернативы и наступлении *j*-го состояния. В зависимости от содержания задачи матрица интерпретируется либо как матрица выигрышей (тогда критерий — максимизация), либо как матрица потерь (тогда критерий — минимизация). Смешение этих интерпретаций — типичный источник ошибок при расчётах, поэтому в каждой задаче направление оптимизации должно быть явно оговорено. ## Типы риска Риск в задачах принятия решений принято различать по источнику вероятностных оценок. - **Объективный риск** — вероятности получены из статистики, частотных наблюдений или физической модели процесса. Характерен для задач страхования, надёжности технических систем, контроля качества. - **Субъективный риск** — вероятности задаются ЛПР или экспертами на основании опыта и суждений. Теоретическую базу для работы с такими вероятностями дают аксиоматические построения Ф. Рамсея, Б. де Финетти и Л. Сэвиджа. - **Параметрический риск** — форма распределения вероятностей известна с точностью до параметра, значение которого оценивается по выборке или задаётся априорно. Отдельное различие, введённое Ф. Найтом, отделяет **риск** как измеримую неопределённость от *истинной* неопределённости, где вероятности принципиально недоступны. В этой терминологии предмет настоящей статьи — именно измеримая неопределённость. ## Отношение ЛПР к риску Поведение ЛПР при выборе между рискованными альтернативами описывается типом его отношения к риску. - **Неприятие риска** (risk-averse) — при равном математическом ожидании ЛПР предпочитает альтернативу с меньшим разбросом. Соответствует вогнутой функции полезности. - **Нейтральность к риску** (risk-neutral) — ЛПР ориентируется только на математическое ожидание и не реагирует на разброс. Функция полезности линейна; выбор совпадает с решением по байесовскому критерию. - **Склонность к риску** (risk-seeking) — при равном ожидании предпочитается альтернатива с бо́льшим разбросом. Функция полезности выпукла. Количественной характеристикой отношения к риску служит мера **Эрроу — Пратта**: - абсолютное неприятие риска *rA(x) = −U″(x) ⁄ U′(x)*; - относительное неприятие риска *rR(x) = −x · U″(x) ⁄ U′(x)*. Тип отношения к риску определяет выбор критерия: нейтральному ЛПР достаточно байесовского критерия, тогда как для неприятия или склонности к риску требуется критерий ожидаемой полезности или комбинированные критерии. ## Основные критерии выбора в условиях риска Критерии, применимые в условиях риска, различаются по теоретическому статусу. Нормативное ядро образует **критерий максимума ожидаемой полезности** фон Неймана — Моргенштерна; **байесовский критерий** является его частным случаем при линейной функции полезности — то есть для ЛПР, нейтрального к риску. Эти два критерия опираются на аксиоматическое обоснование рациональности и задают эталон, от которого отсчитываются остальные. Критерий **«среднее — дисперсия»** и **минимум ожидаемого сожаления** — прикладные формы того же ядра, удобные в специфических постановках (портфельная теория; явное представление упущенной выгоды). **Ходжеса — Лемана**, **энтропийный** и **Гермейера** — осторожные и гибридные критерии, применяемые там, где ядро нужно дополнить учётом частичного доверия к вероятностям, хвостовых рисков или критичности отдельных исходов. Ниже каждый критерий описан отдельно; выбор между ними определяется не «правильностью», а соответствием постановке задачи и установке ЛПР. ### Байесовский критерий Выбирается альтернатива с наибольшим математическим ожиданием результата: *Wi = Σj pj · aij → maxi*. Критерий известен также как **критерий максимума математического ожидания выигрыша** или **критерий ожидаемой эффективности**. Оправдан в ситуациях, где ЛПР нейтрален к риску, а принимаемое решение повторяется многократно и позволяет опереться на закон больших чисел. ### Критерий максимума ожидаемой полезности Введён Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном. Альтернативы сравниваются не по ожидаемому выигрышу, а по ожидаемой полезности результата: *E\[U(Xi)\] = Σj pj · U(aij) → maxi*. Форма функции полезности *U(·)* кодирует отношение ЛПР к риску: вогнутая — для неприятия, линейная — для нейтральности, выпуклая — для склонности. Теорема фон Неймана — Моргенштерна показывает, что при выполнении аксиом полноты, транзитивности, непрерывности и независимости предпочтения ЛПР представимы через ожидаемую полезность. Это центральный нормативный критерий теории решений в условиях риска. ### Критерий «среднее — дисперсия» (Марковиц) Альтернатива характеризуется парой (математическое ожидание, дисперсия) результата. ЛПР ищет компромисс между ожидаемым выигрышем и его разбросом, выбирая решение на границе эффективности — множестве альтернатив, для которых нельзя одновременно повысить ожидание и снизить дисперсию. Сама по себе граница не даёт единственного ответа: выбор конкретной точки на ней определяется функцией полезности ЛПР. Эквивалентность критерия «среднее — дисперсия» и максимума ожидаемой полезности справедлива лишь при дополнительных предпосылках — квадратичной функции полезности или нормальном (шире — эллиптическом) распределении результатов; в общем случае *E\[U(X)\]* зависит и от моментов выше второго. Критерий применяется прежде всего в портфельной теории и финансовом анализе. ### Критерий Ходжеса — Лемана Комбинирует байесовский критерий и гарантирующий критерий Вальда с параметром доверия *λ ∈ \[0, 1\]*: *Wi = λ · Σj pj · aij + (1 − λ) · minj aij → maxi*. При *λ = 1* критерий совпадает с байесовским, при *λ = 0* — с критерием Вальда. Применяется, когда ЛПР доверяет оценке вероятностей лишь частично и хочет застраховаться от наихудшего сценария. ### Критерий минимума ожидаемого сожаления Вероятностное обобщение критерия Сэвиджа. Для каждой альтернативы строится матрица сожалений *rij = maxk akj − aij*, после чего выбирается решение с минимальным ожидаемым сожалением: *E\[Ri\] = Σj pj · rij → mini*. В отличие от классического критерия Сэвиджа, применимого в условиях неопределённости без вероятностей, данная форма использует заданное распределение *p* и корректно вписывается в задачу риска. Следует учитывать, что при известных вероятностях EOL даёт ту же оптимальную альтернативу, что и байесовский критерий: разность *E\[Ri\] = Σ pj·maxk akj − E\[Wi\]* отличается от *−E\[Wi\]* лишь константой, одинаковой для всех альтернатив. Самостоятельная ценность критерия — в матрице сожалений как форме, явно показывающей упущенную выгоду и удобной для анализа чувствительности. ### Энтропийный критерий Учитывает чувствительность к неблагоприятным сценариям через экспоненциальную функцию полезности. Используется **энтропийная мера риска**: *ρθ(Xi) = (1 ⁄ θ) · ln E\[exp(−θ · Xi)\] → mini*, *θ \> 0*. Формула записана для матрицы выигрышей; при переходе к матрице потерь знак параметра под экспонентой меняется — используется *exp(θ · Xi)*. Критерий штрафует альтернативы с тяжёлыми левыми хвостами распределения и настраивается параметром *θ*, отражающим степень осторожности ЛПР. При *θ → 0* критерий сходится к байесовскому, при *θ → ∞* — к гарантирующему (критерию Вальда). При малых *θ* справедливо разложение *ρθ(X) ≈ −E\[X\] + (θ ⁄ 2) · Var\[X\]*, из которого виден переход к критерию «среднее — дисперсия»: параметр *θ* играет роль коэффициента неприятия разброса. Энтропия используется в теории решений и в другой роли — для согласования самих вероятностей: принцип максимума энтропии Э. Джейнса позволяет восстановить распределение *p* по частичной информации о нём (заданным моментам, ограничениям на носитель). Это задача оценки вероятностей, а не выбора альтернативы; её результаты могут затем подаваться на вход любого вероятностного критерия. ### Критерий Гермейера Ориентирован на задачи с отрицательными результатами (потерями). Выбирается альтернатива, для которой наименьшее произведение вероятности состояния на потерю максимально: *Wi = minj (pj · aij) → maxi*, где *aij ≤ 0*. Внутренний минимум по состояниям выделяет наиболее отрицательный взвешенный исход альтернативы — её «взвешенный худший случай»; внешний максимум по альтернативам выбирает ту, у которой этот худший случай ближе всего к нулю. Критерий относится к гарантирующим подходам с учётом вероятностной информации и применяется там, где последствия ошибки критичны. Выбор критерия зависит от поведенческих особенностей ЛПР, целей анализа (максимизация дохода, минимизация потерь, устойчивость результата) и степени доверия к оценкам вероятностей. ## Стохастическое доминирование Если для всех разумных функций полезности одна альтернатива предпочтительнее другой, выбор можно сделать без задания конкретной *U(·)*. Инструмент такого анализа — **стохастическое доминирование**. **Доминирование первого порядка** (FSD): *X* доминирует *Y*, если для всех *x* выполнено *FX(x) ≤ FY(x)*. В этом случае *X* предпочтительнее *Y* для любого ЛПР с монотонно возрастающей функцией полезности. **Доминирование второго порядка** (SSD): *X* доминирует *Y*, если для всех *x* выполнено *∫−∞x \[FX(t) − FY(t)\] dt ≤ 0*. В этом случае *X* предпочтительнее *Y* для любого ЛПР, не склонного к риску (с вогнутой *U*). SSD применяется, когда FSD не выполняется, но одна из альтернатив всё же предпочтительна при неприятии риска. Если между альтернативами есть стохастическое доминирование, сравнение по критерию ожидаемой полезности не требуется — доминирующая альтернатива будет выбрана в любом случае. ## Меры риска Количественное описание риска требует мер, отличных от математического ожидания. - **Дисперсия** и **стандартное отклонение** — классические меры разброса; симметричны относительно среднего и не различают благоприятные и неблагоприятные отклонения. - **Полудисперсия** (downside risk) — учитывает только отклонения в неблагоприятную сторону. - **Коэффициент вариации** — нормированная мера, сопоставимая для альтернатив с разным масштабом результатов. - **Value at Risk** (VaR) — квантильная мера: порог потерь, который не будет превышен с заданной доверительной вероятностью. - **Conditional VaR** (CVaR, Expected Shortfall) — ожидаемые потери за пределами VaR; когерентная мера риска в смысле аксиом Ф. Артцнера, Ф. Дельбаена, Ж.-М. Эбера и Д. Хита. VaR и CVaR пришли из финансовой математики и применяются прежде всего в портфельном и банковском риск-менеджменте, однако их формулировки применимы к любой случайной величине потерь. Когерентность меры риска означает одновременное выполнение четырёх свойств: монотонности, субаддитивности, положительной однородности и инвариантности к сдвигу. Принципиальна субаддитивность: без неё мера способна показывать рост риска при диверсификации, что противоречит содержательному смыслу риска. Дисперсия нарушает монотонность и инвариантность к сдвигу (одинаково штрафует за благоприятные и неблагоприятные отклонения); VaR нарушает субаддитивность на распределениях с тяжёлыми хвостами; CVaR удовлетворяет всем четырём аксиомам, чем и объясняется его предпочтительность в задачах, где возможны катастрофические хвостовые исходы. ## Безрисковый эквивалент и премия за риск **Безрисковым эквивалентом** *CE(X)* случайного результата *X* называется детерминированная величина, которую ЛПР считает для себя равноценной участию в лотерее *X*: *U(CE(X)) = E\[U(X)\]*. **Премия за риск** *π(X) = E\[X\] − CE(X)* показывает, какой частью ожидаемого выигрыша ЛПР готов пожертвовать ради отказа от риска. Для малых рисков справедлива приближённая формула **Эрроу — Пратта**: *π(X) ≈ ½ · σ²(X) · rA(E\[X\])*, связывающая премию с дисперсией результата и мерой абсолютного неприятия риска. Премия за риск лежит в основе страховых тарифов, требуемой доходности рискованных активов и метода безрискового эквивалента при анализе инвестиций. ## Ценность информации В условиях риска ЛПР может платно получать дополнительную информацию о состоянии среды — проводить исследование, заказывать экспертизу, запускать пилотный проект. Решение о целесообразности таких затрат опирается на понятие ценности информации. **Ожидаемая ценность полной информации** (EVPI) — разница между ожидаемым выигрышем при знании истинного состояния среды до выбора и ожидаемым выигрышем при оптимальном байесовском решении без дополнительных данных: *EVPI = Σj pj · maxi aij − maxi Σj pj · aij*. EVPI задаёт верхний предел суммы, которую имеет смысл потратить на получение информации: никакое исследование не может дать больше, чем устранение всей неопределённости. **Ожидаемая ценность выборочной информации** (EVSI) — аналогичная величина для частичной, неполной информации (например, результата эксперимента с известной вероятностной моделью ошибки). Если *d* — наблюдаемый результат такого эксперимента с распределением *P(d)*, то *EVSI = Σd P(d) · maxi E\[aij \| d\] − maxi Σj pj · aij*, где внутренние ожидания вычисляются по апостериорному распределению, получаемому байесовским обновлением. Всегда справедливо *0 ≤ EVSI ≤ EVPI*. На практике доступна лишь EVSI — идеальная информация редко существует, — и зазор между EVSI и EVPI часто значителен. Поэтому прогноз с ценой, близкой к EVPI, может оказаться нерентабельным даже при видимой дешевизне: чем ниже точность источника, тем меньше реальная готовность ЛПР за него платить. ## Субъективная оценка вероятностей Если статистика отсутствует или событие уникально, вероятности задаются ЛПР или экспертами. Субъективные вероятности используются в расчётах наравне с объективными, однако требуют процедурного обоснования. Теоретическую основу даёт **аксиоматика Сэвиджа**, показывающая, что рациональный выбор при соблюдении аксиом согласованности эквивалентен максимизации ожидаемой полезности по субъективным вероятностям. Методы получения таких оценок включают: - непосредственное приписывание вероятностей; - метод парных сравнений; - метод пари и эталонных лотерей; - агрегирование мнений группы экспертов (методы Дельфи, номинальных групп, взвешенного среднего). Субъективные вероятности уточняются по мере поступления новых данных с помощью **байесовского обновления** — пересчёта априорного распределения в апостериорное по формуле Байеса: *P(H \| D) = P(D \| H) · P(H) ⁄ P(D)*, где *P(H)* — априорная вероятность гипотезы, *P(D \| H)* — правдоподобие данных при данной гипотезе, *P(H \| D)* — апостериорная вероятность гипотезы после получения данных. ## Поведенческие подходы Эмпирические исследования показывают, что реальное поведение ЛПР систематически отклоняется от предписаний теории ожидаемой полезности. Эти отклонения изучаются в рамках дескриптивных моделей риска. **Парадокс Алле** демонстрирует нарушение аксиомы независимости: в задачах с близкими к единице вероятностями большинство людей делает выбор, несовместимый ни с какой функцией полезности. Парадокс показывает, что ожидаемая полезность — нормативный идеал, а не описание фактического поведения. **Теория перспектив** Д. Канемана и А. Тверски заменяет функцию полезности на **функцию ценности**, определённую относительно точки отсчёта, а не абсолютного уровня богатства. Функция вогнута в области выигрышей, выпукла в области потерь и круче слева от нуля — это отражает **неприятие потерь**: потеря воспринимается острее равного по величине выигрыша (по оценке А. Тверски и Д. Канемана 1992 года — примерно в 2,25 раза). Вероятности в теории перспектив преобразуются **функцией взвешивания вероятностей**, которая завышает малые и занижает большие вероятности; практически это проявляется как переоценка редких событий (включая катастрофические и очень благоприятные) и недооценка почти достоверных. Одно из проявлений этой функции — **эффект определённости**: ЛПР существенно переплачивают за полное устранение риска (переход от вероятности 0,99 к 1,0) по сравнению с таким же количественным снижением вероятности в промежуточной области (от 0,51 к 0,50). К устойчивым отклонениям относят также эвристики **доступности**, **репрезентативности** и **якоря**, искажающие оценки вероятностей. Учёт поведенческих эффектов важен там, где решение принимается однократно и где последствия значимы для ЛПР лично. Важно различать **неприятие риска** — классическое понятие, связанное с вогнутостью функции полезности, — и **неприятие потерь** — понятие теории перспектив, возникающее из асимметрии функции ценности относительно точки отсчёта. ## Стратегии управления риском Помимо выбора альтернативы, ЛПР может изменять сам уровень риска ситуации. Основные стратегии: - **избегание** — отказ от действий, несущих недопустимый риск; - **предотвращение и снижение** — уменьшение вероятности неблагоприятного исхода организационными или техническими мерами; - **передача** — переложение риска на другую сторону (страхование, аутсорсинг, гарантийные соглашения); - **диверсификация** — распределение риска по слабо коррелированным направлениям; - **хеджирование** — компенсация возможных потерь встречной операцией на производных инструментах; - **поглощение** — сознательное принятие риска с формированием резервов на покрытие потерь. Стратегии комбинируются в зависимости от природы риска, его величины и стоимости управляющих мер. ## Инструменты и представление решений ### Матрицы эффективности [Платёжная матрица](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Матричная модель принятия решений") *\[aij\]* — базовая форма представления задачи. Строки соответствуют альтернативам, столбцы — состояниям среды, ячейки — результатам. Над этой матрицей работают все табличные критерии, перечисленные выше. ### Деревья решений [Дерево решений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Дерево решений") применяется для задач с последовательностью выборов и реализаций случайных событий. В нём различают два типа узлов: - **узлы решений** (обычно обозначаются квадратом) — точки, где ЛПР выбирает альтернативу; - **узлы случая** (обозначаются кругом) — точки, где реализуется случайное состояние с известной вероятностью. Оптимальная стратегия находится методом **обратной индукции** (rollback): от концевых листьев к корню. В каждом узле случая вычисляется оценка результата — математическое ожидание для нейтрального к риску ЛПР либо ожидаемая полезность *E\[U(X)\]* в общем случае; в каждом узле решения выбирается ветвь с максимальной оценкой. Накопленные значения передаются к корню, а путь через выбранные ветви задаёт оптимальную стратегию. Выбор шкалы агрегирования (денежная или полезностная) согласуется с критерием, принятым для задачи: без этой согласованности дерево решений неявно предполагает нейтральность к риску. Простейший пример: ЛПР выбирает между рискованной альтернативой *A1* (выигрыш +100 с вероятностью 0,3 или проигрыш −50 с вероятностью 0,7) и гарантированной *A2* (+20). В узле случая для *A1* вычисляется *E = 0{,}3 · 100 + 0{,}7 · (−50) = −5*; сравнение с *A2* даёт оптимальный выбор *A2*. В более сложных деревьях процедура применяется рекурсивно снизу вверх. ### Функции полезности Функция полезности *U(x)* переводит денежные или натуральные результаты в субъективно сопоставимые единицы. Её форма отражает тип отношения ЛПР к риску: линейная — нейтральность, вогнутая (например, *U(x) = ln x* или *U(x) = √x*) — неприятие, выпуклая — склонность. Параметры функции определяются методом эталонных лотерей или из наблюдений за выборами ЛПР в контролируемых задачах. ## Пример ЛПР выбирает один из трёх проектов *A1*, *A2*, *A3*. Возможны три состояния рынка с вероятностями *p1 = 0{,}3*, *p2 = 0{,}5*, *p3 = 0{,}2*. Матрица выигрышей (в условных единицах): | Альтернатива | *S1* (*p* = 0,3) | *S2* (*p* = 0,5) | *S3* (*p* = 0,2) | |-----------------|-----------------------------|-----------------------------|-----------------------------| | *A1* | 60 | 60 | 60 | | *A2* | 90 | 60 | 20 | | *A3* | 130 | 40 | −30 | Матрица выигрышей **Байесовский критерий:** *E\[A1\] = 60*; *E\[A2\] = 27 + 30 + 4 = 61*; *E\[A3\] = 39 + 20 − 6 = 53*. Выбор: *A2*. **Критерий ожидаемой полезности** для ЛПР с неприятием риска, *U(x) = √(x + 40)*. Константа 40 введена под корень, чтобы избежать отрицательных аргументов (минимальный исход в матрице равен −30); содержательно её удобно интерпретировать как фоновый уровень богатства ЛПР, не поставленный на кон в этой задаче. Вогнутость функции при этом сохраняется и отражает неприятие риска. Альтернатива *A1* безрискова (все исходы равны 60), поэтому *E\[U(A1)\] = U(60) = √100*; для остальных вычисляется полная сумма: *E\[U(A1)\] = √100 = 10{,}00*; *E\[U(A2)\] = 0{,}3 · √130 + 0{,}5 · √100 + 0{,}2 · √60 ≈ 9{,}97*; *E\[U(A3)\] = 0{,}3 · √170 + 0{,}5 · √80 + 0{,}2 · √10 ≈ 9{,}02*. Выбор: *A1*. Осторожный ЛПР предпочитает гарантированный результат, жертвуя одной единицей ожидания ради нулевой дисперсии. **Критерий Ходжеса — Лемана** при *λ = 0{,}5*: *W(A1) = 0{,}5 · 60 + 0{,}5 · 60 = 60*; *W(A2) = 0{,}5 · 61 + 0{,}5 · 20 = 40{,}5*; *W(A3) = 0{,}5 · 53 + 0{,}5 · (−30) = 11{,}5*. Выбор: *A1*. **Ценность полной информации:** *E\[max\] = 0{,}3 · 130 + 0{,}5 · 60 + 0{,}2 · 60 = 81*; *EVPI = 81 − 61 = 20*. ЛПР имеет смысл вкладываться в информацию о состоянии рынка на сумму не более 20 единиц. Пример показывает, что выбор оптимальной альтернативы зависит не только от платёжной матрицы и вероятностей, но и от отношения ЛПР к риску: нейтральный выбирает *A2*, осторожный — *A1*. ## Анализ чувствительности Оптимальное решение в задаче риска зависит от заданных вероятностей и значений платёжной матрицы. Анализ чувствительности показывает, насколько устойчив выбор при их возмущении. Типичные приёмы: - варьирование одной вероятности с пропорциональным пересчётом остальных и построение зависимости оптимальной альтернативы от *pj*; - определение **критических значений** вероятностей, при которых происходит смена оптимальной альтернативы; - анализ рангов альтернатив при разных правдоподобных сценариях задания *p*. Если оптимум сохраняется в широком диапазоне возмущений, решение считается робастным. Если же малые изменения вероятностей меняют выбор, требуется либо уточнение оценок, либо переход к критериям с иной чувствительностью — менее зависимым от точности оценок вероятностей (Ходжеса — Лемана) или по-иному реагирующим на хвосты распределения (энтропийный). ## См. также - [Теория принятия решений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Теория принятия решений") - [Принятие решений в условиях неопределенности](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B2_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F%D1%85_%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 "Принятие решений в условиях неопределенности") - [Критерии принятия решений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Критерии принятия решений") - [Матричная модель принятия решений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Матричная модель принятия решений") - [Дерево решений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 "Дерево решений") - [Оптимальный выбор](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80 "Оптимальный выбор") ## Литература - Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970. - Savage L. J. The Foundations of Statistics. — New York: Wiley, 1954. - Allais M. Le Comportement de l'Homme Rationnel devant le Risque: Critique des Postulats et Axiomes de l'École Américaine // Econometrica. — 1953. — Vol. 21, № 4. — P. 503–546. - Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1952. — Vol. 7, № 1. — P. 77–91. - Arrow K. J. Essays in the Theory of Risk-Bearing. — Chicago: Markham, 1971. - Pratt J. W. Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica. — 1964. — Vol. 32, № 1–2. — P. 122–136. - Hadar J., Russell W. R. Rules for Ordering Uncertain Prospects // American Economic Review. — 1969. — Vol. 59, № 1. — P. 25–34. - Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk // Econometrica. — 1979. — Vol. 47, № 2. — P. 263–291. - Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, № 4. — P. 297–323. - Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent Measures of Risk // Mathematical Finance. — 1999. — Vol. 9, № 3. — P. 203–228. - Föllmer H., Schied A. Convex Measures of Risk and Trading Constraints // Finance and Stochastics. — 2002. — Vol. 6, № 4. — P. 429–447. - Райфа Г. Анализ решений: введение в проблему выбора в условиях неопределённости. — М.: Наука, 1977. - Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений. — М.: Логос, 2002. - Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Дрофа, 2004.