--- title: "Область допустимых решений" source: "https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D1%83%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9" wiki: "systems-analysis.info/wiki" article: "Область_допустимых_решений" language: "ru" categories: - "Категория:Russian" - "Категория:Исследование операций" - "Категория:Математическое моделирование" - "Категория:Термины" revision_id: 315 wiki_created_at: 2026-09-06T22:07:01Z wiki_modified_at: 2026-09-06T22:07:01Z downloaded_at: 2026-09-07T22:19:03Z --- # Область допустимых решений **Область допустимых решений (ОДР)** (также **множество допустимых решений**, англ. *Feasible region, feasible set*) — в [исследовании операций](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%98%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9 "Исследование операций"), [оптимизации](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F "Оптимизация") и [математическом моделировании](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Математическое моделирование") это множество всех возможных решений (наборов значений переменных), которые удовлетворяют **всем** [ограничениям](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения"), наложенным на задачу. ОДР представляет собой подпространство, в котором ведется поиск [оптимального решения](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80 "Оптимальный выбор"). Любое решение, находящееся вне этой области, является недопустимым. ## Определение и формирование Область допустимых решений формируется как пересечение множеств, определяемых каждым отдельным [ограничением](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения") задачи. [Ограничения](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения") могут быть представлены в виде: - **Неравенств:** Устанавливают верхние или нижние границы для значений переменных или их комбинаций (например, "расход ресурса А не должен превышать 100 единиц", "количество произведенной продукции должно быть не менее 50 штук"). - **Равенств:** Требуют точного выполнения условия (например, "суммарный объем перевозок должен быть равен 1000 тонн", "баланс входящих и исходящих потоков равен нулю"). - **Условий на знак переменных:** Часто переменные должны быть неотрицательными, целочисленными или принадлежать определенному дискретному множеству. Точка (или вектор значений переменных) принадлежит ОДР тогда и только тогда, когда она одновременно удовлетворяет всем этим [ограничениям](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения"). ## Геометрическая интерпретация ОДР часто имеет наглядную геометрическую интерпретацию, особенно в задачах с небольшим числом переменных: - **В двумерном пространстве (2 переменные):** Каждое линейное [ограничение](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения")-неравенство задает полуплоскость. ОДР представляет собой пересечение этих полуплоскостей — выпуклый многоугольник (возможно, неограниченный или пустой). - **В трехмерном пространстве (3 переменные):** Каждое линейное [ограничение](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения")-неравенство задает полупространство. ОДР является пересечением этих полупространств — выпуклым многогранником (полиэдром). - **В многомерном пространстве:** ОДР, определяемая линейными [ограничениями](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения"), является выпуклым многогранником (политопом). В случае нелинейных [ограничений](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения") ОДР может иметь более сложную форму и не быть выпуклой. ## Роль в оптимизации Область допустимых решений играет фундаментальную роль в [оптимизации](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F "Оптимизация"): 1\. **Определение пространства поиска:** [Оптимальное решение](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80 "Оптимальный выбор") задачи (если оно существует) **всегда** находится внутри ОДР или на её границе. Алгоритмы [оптимизации](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F "Оптимизация") ищут экстремум [целевой функции](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F "Целевая функция") именно в этой области. 2. **Проверка существования решений:** Если ОДР является пустым множеством (т.е. [ограничения](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения") противоречат друг другу), то задача не имеет допустимых решений, а следовательно, и [оптимального решения](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80 "Оптимальный выбор"). 3. **Влияние на [оптимальное решение](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80 "Оптимальный выбор"):** Форма и размер ОДР напрямую влияют на возможность достижения экстремума [целевой функции](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F "Целевая функция") и на значение этого экстремума. ## Свойства ОДР (в задачах линейного программирования) В задачах [линейного программирования](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Линейное программирование") (ЛП), где все [ограничения](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения") и [целевая функция](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F "Целевая функция") линейны, ОДР обладает важными свойствами: - **Выпуклость:** Если две точки принадлежат ОДР, то и весь отрезок, соединяющий эти точки, также принадлежит ОДР. Это свойство гарантирует, что [оптимальное решение](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80 "Оптимальный выбор") (если оно существует и единственно) будет находиться в одной из вершин многогранника ОДР. - **Замкнутость:** ОДР включает свои границы (из-за нестрогих неравенств ≤, ≥ и равенств). ОДР может быть: - **Ограниченной:** Имеет конечные размеры. - **Неограниченной:** Простирается бесконечно в одном или нескольких направлениях. - **Пустой:** Не содержит ни одной точки. ## См. также - [Исследование операций](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%98%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9 "Исследование операций") - [Оптимизация](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F "Оптимизация") - [Математическая модель](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C "Математическая модель") - [Ограничения](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Ограничения") - [Оптимальное решение](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Оптимальное решение") - [Целевая функция](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F "Целевая функция") - [Линейное программирование](https://systems-analysis.info/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Линейное программирование") ## Литература - *Вентцель Е. С.* Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988. - *Акоф Р., Сасиени М.* Основы исследования операций. — М.: Мир, 1971. - *Taha, Hamdy A.* Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017) - *Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J.* Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)